数学理·河南省洛阳一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·河南省洛阳一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省洛阳一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若复数Z 的共轭复数是，且满足=i（其中i为虚数单位），则z等于（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎2．若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（　　）‎ A．＞ B．＞ C．＞ D．|a|＞﹣b ‎4．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（　　）‎ A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎5．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎6．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（　　）‎ A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能 ‎9．已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎10．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n，则（x﹣）n的展开式中常数项为（　　）‎ A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160‎ ‎11．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（　　）‎ A．e2016f（﹣2016）＜f（0），f B．e2016f（﹣2016）＞f（0），f C．e2016f（﹣2016）＜f（0），f D．e2016f（﹣2016）＞f（0），f ‎12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（　　）‎ A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=2，S3=12，则a6=　　．‎ ‎14．计算定积分（+x）dx=　　．‎ ‎15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值　　．‎ ‎16．设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：‎ 设，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．‎ ‎（1）求|AB|的值；‎ ‎（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．‎ ‎18．选修4﹣5：不等式选讲 设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）‎ ‎（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．‎ ‎21．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx ‎（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；‎ ‎（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省洛阳一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．若复数Z 的共轭复数是，且满足=i（其中i为虚数单位），则z等于（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：由=i，得，‎ ‎∴z=1﹣i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】在所给的等式中，分别令x=1，x=﹣1，可得两个式子，再把这两个式子相乘，即得所求．‎ ‎【解答】解：在 中，‎ 令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4=，‎ 再令x=﹣1，可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4=，‎ 两量式相乘可得则=•=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（　　）‎ A．＞ B．＞ C．＞ D．|a|＞﹣b ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】选项A，利用作差法可证明真假，选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式不成立，故可判断真假；选项C，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，进行判断真假；选项D，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，从而|a|=﹣a＞﹣b，即可判断真假，从而选出正确选项．‎ ‎【解答】解：选项A，﹣=＞0，故正确；‎ 选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式＞不成立，故不正确；‎ 选项C，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴＞，故正确；‎ 选项D，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，故正确；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（　　）‎ A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案．‎ ‎【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，‎ 令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，‎ 依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．‎ ‎【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；‎ 故﹣2m﹣n+2=0；‎ 故2m+n=2；‎ ‎=+‎ ‎=++2+‎ ‎≥4+=；‎ 当且仅当m=n=时，等号成立；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e==．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．‎ ‎【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．‎ 设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，‎ 所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，‎ 则有r=，可求得r即OM=，‎ 所以AO=AM﹣OM=，所以 =3‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎8．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（　　）‎ A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出•为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．‎ ‎【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），‎ 将直线与抛物线方程联立得，‎ 消去y得：x2﹣mx﹣1=0，‎ 根据韦达定理得：x1x2=﹣1，‎ 由=（x1，x12），=（x2，x22），‎ 得到•=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，‎ 则⊥，‎ ‎∴△AOB为直角三角形．‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由z=2x+y，得y=﹣2x+z 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z过点A时，直线y=﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，‎ 由得，即A（1，﹣1），‎ 此时z=2﹣1=1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n，则（x﹣）n的展开式中常数项为（　　）‎ A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为6，故n=6，在二项式的展开式中令x的幂指数等于0，解得r的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到﹣2和4对应点的距离之和，其最小值为6，故n=6．‎ 故二项式（x﹣）n展开式的通项公式为Tr+1=（x）6﹣r=（﹣2）rx6﹣2r．‎ 令6﹣2r=0，解得r=3，故（x﹣）n的展开式中常数项为（﹣2）3=﹣160．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（　　）‎ A．e2016f（﹣2016）＜f（0），f B．e2016f（﹣2016）＞f（0），f C．e2016f（﹣2016）＜f（0），f D．e2016f（﹣2016）＞f（0），f ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论 ‎【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，‎ 因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，‎ 所以g（﹣2016）＞g（0）＞g＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（　　）‎ A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据新定义，结合等比数列性质anan+2=an+12，一一加以判断，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由等比数列性质知anan+2=an+12，‎ ‎①f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1），故正确；‎ ‎②f（an）f（an+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（an+1），故不正确；‎ ‎③f（an）f（an+2）===f2（an+1），故正确；‎ ‎④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1|2=f2（an+1），故不正确；‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=2，S3=12，则a6=　12　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵S3=12，‎ ‎∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．‎ 解得d=2，‎ 则a6=a1+5d=2+2×5=12，‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ ‎14．计算定积分（+x）dx=　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分，即可得到结论．由定积分的几何意义知分dx表示原的面积的二分之一，问题得以解决．‎ ‎【解答】解；由定积分的几何意义知分dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，‎ 故dx=，‎ ‎（+x）dx=（）dx+xdx=π+|=π+0=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值　5﹣　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．‎ ‎【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．‎ ‎【解答】解：由曲线C的参数方程（α为参数），‎ 化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，‎ 圆心为A（1，0），半径为r=，‎ 由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．‎ 故答案为：5﹣．‎ ‎　‎ ‎16．设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：‎ 设，则=　2015　．‎ ‎【考点】导数的运算；函数的值．‎ ‎【分析】求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出．‎ ‎【解答】解：g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0得x=，g（）=1．‎ ‎∴g（x）的对称中心为（，1）．‎ ‎∴g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=…=g（）+g（）=2，‎ ‎∴=1007×2+g（）=1007×2+g（）=2014+1=2015．‎ 故答案为2015．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．‎ ‎（1）求|AB|的值；‎ ‎（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1即可得到曲线C1的普通方程，把代入C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程，由于C2的参数方程为为参数），代入C1得，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．‎ ‎（2）利用|MA||MB|=|t1t2|即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）利用sin2θ+cos2θ=1可得：曲线C1的普通方程为，‎ 由C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程为x+y﹣1=0，‎ 则C2的参数方程为为参数），‎ 代入C1得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）．‎ ‎　‎ ‎18．选修4﹣5：不等式选讲 设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）‎ ‎（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．‎ ‎（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得 a≥2x﹣3，求得2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，可得a≥1，从而得到 1≤a≤2．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4．‎ 而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，‎ 故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．‎ ‎（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得 a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，∴a≥1，‎ 故 1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．‎ ‎　‎ ‎19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；‎ ‎（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．‎ ‎（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．‎ ‎【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得 列联表补充如下 ‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2）因为 K2=，即K2==，‎ 所以 K2≈8.333‎ 又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，‎ 所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．‎ ‎（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，‎ 记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．‎ 故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，‎ 则ξ的分布列：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则Eξ=1×+2×+3×=0.9，‎ Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49‎ ‎　‎ ‎20．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．‎ 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，‎ 从而AC⊥平面BDE．…‎ ‎（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．‎ 因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，‎ 所以．‎ 由AD=3，可知DE=3，AF=．‎ 则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），‎ 所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．‎ 设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则 ‎，即．‎ 令z=，则=（4，2，）．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量， =（3，﹣3，0）．‎ 所以cos．‎ 因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值．‎ ‎【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，‎ 则由题意得 c=，，‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为． …‎ ‎∴右顶点F的坐标为（1，0）．‎ 设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线E的标准方程为y2=4x． …‎ ‎（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），‎ 由消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴x1+x2=2+，x1x2=1．‎ 由消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，‎ ‎∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=||•||+||•||‎ ‎=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|‎ ‎=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）‎ ‎=8+≥8+=16．‎ 当且仅当即k=±1时，有最小值16．…‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx ‎（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；‎ ‎（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出导数，求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；‎ ‎（2）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，即可求a的取值范围；‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增，由此可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，‎ 因为f'（1）=0，f（1）=﹣2，‎ 所以切线方程为y=﹣2； ‎ ‎（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），‎ 当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+（x＞0），‎ 令f'（x）=0，即f′（x）=，所以x=或x=． ‎ 当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，‎ 所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2； ‎ 当1＜＜e，即＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合题意；‎ 当≥e，即0≤a≤时，f（x）在（1，e）上单调递减，‎ 所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意． ‎ 综上可得 a≥1； ‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，‎ 对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，‎ 等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 而g′（x）=2ax﹣a+=，‎ 当a=0时，g′（x）=，此时g（x）在（0，+∞）单调递增； ‎ 当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，‎ 因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a≥0，‎ 对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=，‎ 只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8． ‎ 综上可得 0≤a≤8．‎ ‎　‎ ‎2016年11月8日