2018届高三数学一轮复习： 第10章 第2节 排列与组合

2018届高三数学一轮复习： 第10章 第2节 排列与组合

第二节　排列与组合 ‎ [考纲传真]　1.理解排列与组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题．‎ ‎1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．‎ ‎(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．‎ ‎3．排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ ‎(2)C＝＝ ‎＝ 性质 ‎(1)0！＝1；A＝n!‎ ‎(2)C＝C；C＝C＋C ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)‎ ‎(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)‎ ‎(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)‎ ‎(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言(　　)‎ A．1 560条　 B.780条 C.1 600条　 D.800条 A　[由题意，得毕业留言共A＝1 560条．]‎ ‎3．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A．24 B.48‎ C.60 D.72‎ D　[第一步，先排个位，有C种选择；‎ 第二步，排前4位，有A种选择．‎ 由分步乘法计数原理，知有C·A＝72(个)．]‎ ‎4．(2017·唐山调研)某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B.56‎ C.49 D.28‎ C　[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，‎ 甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，‎ 由分类加法计数原理，共有CC＋CC＝49种选法．‎ 法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，‎ 其中甲、乙均不入选有C种方法，‎ ‎∴满足条件的选排方法有C－C＝84－35＝49种．]‎ ‎5．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．‎ ‎60　[5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，‎ ‎∴满足条件的不同排法共A＝60种．]‎ 排列应用题 ‎　(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种　　 B.216种　‎ C.240种　　 D.288种 ‎(2)(2017·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种. ‎ ‎【导学号：01772381】‎ ‎(1)B　(2)36　[(1)第一类：甲在左端，‎ 有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；‎ 第二类：乙在最左端，‎ 有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法，‎ 所以共有120＋96＝216种方法．‎ ‎(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法．]‎ ‎[规律方法]　1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．‎ ‎2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．‎ ‎[变式训练1]　在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)‎ A．34种 B.48种 C.96种 D.144种 C　[程序A的顺序有A＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA＝48种结果，‎ 由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]‎ 组合应用题 ‎　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B.63种 C.65种 D.66种 ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有‎2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A．18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎(1)D　(2)C　[(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，‎ ‎∴不同的取法共有C＋C＋CC＝66种．‎ ‎(2)由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C＝20(种)，其中存在k≤‎2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．‎ 故共有14个．故选C.]‎ ‎[规律方法]　1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．‎ ‎2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．‎ ‎[变式训练2]　现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．‎ ‎472　[第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C－‎3C＝220－12＝208种．‎ 由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]‎ 排列与组合的综合应用 ‎☞角度1　简单的排列与组合的综合问题 ‎　(2017·成都质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B.120个 C．96个 D.72个 B　[当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA＝72个，‎ 所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]‎ ‎☞角度2　分组分配问题 ‎　(2017·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　) ‎ ‎【导学号：01772382】‎ A．240种 B.180种 C.150种 D.540种 C　[5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．‎ 当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．‎ 由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．]‎ ‎[规律方法]　1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．‎ ‎2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：‎ ‎(1)特殊元素、特殊位置优先原则．‎ ‎(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．‎ ‎(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．‎ ‎2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．‎ ‎2．计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．‎ ‎3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．‎ ‎4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．‎ ‎5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．‎