2019届二轮复习函数及其表示学案（全国通用）
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．学！
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
高频考点一 函数的概念
例1、有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是 ．
答案 ②③
解析 对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2
D．y＝lgx－2与y＝lg
(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 (1)D (2)B
高频考点二 函数的定义域
例2、(1)函数f(x)＝的定义域为( )
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
答案 D
解析 要使函数f(x)有意义，
则x需满足即
所以不等式组的解集为(1,2)∪(2,10]．故选D.
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
答案 B
解析 由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1
1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 017]，
∴g(x)有意义，应满足
∴0≤x≤2 016，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 016，且x≠1}．
答案 (1)B (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
【方法规律】求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
【变式探究】(1)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C． (2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为 ．
(2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
答案 (1)C (2)[－1，0]
高频考点三、已知定义域求参数范围
例3、若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为 ．
答案 [－1,0]
解析 因为函数f(x)的定义域为R，所以2－1≥0对x∈R恒成立，即2≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
【感悟提升】简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；
②对应f下的范围一致．
(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．
【变式探究】(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是 ．
(2)函数y＝的定义域为 ．
答案 (1)[，] (2)(－1,1)
解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
所以函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)中的自变量x需要满足解得：≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是[，]．学
(2)由得－11)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由
解得f(x)＝＋.
答案 (1)lg(x>1) (2)x2－x＋2 (3)＋
【方法规律】求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．学
(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
【变式探究】(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝ ．
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝ ．
(3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝ ．
解析 (1)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，
由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．
(3)当x∈(－1，1)时，
有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
将x换成－x，则－x换成x，
得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1－3，故－31，
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
答案 C
【举一反三】设函数f(x)＝
若f＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 ．
解析 (1)f＝3×－b＝－b，
若－b<1，即b>时，
则f＝f＝3－b＝4，
解之得b＝，不合题意舍去．
若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
(2)当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，所以x<1.
当x≥1时，x≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.
综上可知x的取值范围是(－∞，8]．
答案 (1)D (2)(－∞，8]
高频考点六 分段函数中的分类讨论思想
例6、[2017·山东高考]设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解题视点 当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域的不同子集进行分类讨论．
解析 若00时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；
当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
（2014·江西卷）函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由x2－x>0，得x>1或x<0.
（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】根据题意得，解得故选C.
（2013·江西卷）已知函数f(x)＝a，a为常数且a>0.
(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x＝对称；
(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点
x1，x2，试确定a的取值范围；
(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3，0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．
【解析】(1)证明：因为f＝a(1－2|x|)，
f＝a(1－2|x|)，
有f＝f，
所以函数f(x)的图像关于直线x＝对称．
(2)当0时，有
f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x有四个解0，，，，又f(0)＝0，f＝，
f≠，f≠，故只有，是f(x)的二阶周期点．
综上所述，所求a的取值范围为a>.
因a>，从而有S′(a)＝>0，
所以当a∈时S(a)单调递增．
（2013·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝ ．
【答案】2
【解析】f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝ln x＋x，f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(00，得x∈[0，1)，故选B.
（2013·辽宁卷）已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min(max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )
A．16 B．－16
C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16
【答案】B
【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，
整理得x2－2ax＋a2－4＝0，所以x＝a＋2或x＝a－2，
所以H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝
H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝
由图形(图形略)可知，A＝H1(x)min＝－4a－4，B＝H2(x)max＝12－4a，则A－B＝－16.
故选B.
（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1，1) B.
C．(－1，0) D.
【答案】B
【解析】对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－10时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )
A．－20 B．20 C．－15 D．15
【答案】A
【解析】由已知表达式可得：f[f(x)]＝－6，展开式的通项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝C·(－1)r·xr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C＝－20.
（2013·四川卷）函数y＝的图像大致是( )
图1－5
【答案】C
【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．
（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；学！
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．
图1－4
(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
