福建省龙海市程溪中学2021届高三数学上学期期中试卷（Word版附答案）

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第 1 页，共 10 页 程溪中学 2021 届高三期中考数学试卷 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合  ࢔ 뿰 1羠 0， 1 ，  ࢔1羠ͳ. 若 ，则实数 m 的值是 A. 0 B. 뿰 1 C. 0 或 뿰 1 或 1 D. 뿰 1 或 0 2. 如图，在 䁨 中，点 D 是边 BC 的中点，  2 ，则用向量 羠䁨 表示 为 A. 뿰 2 1 䁨 B. 뿰 1 2 䁨 C.  2 뿰 1 䁨 D.  2 1 䁨 . 上海世博会期间，某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所 示，那么在 13 时～ 1 时，14 时～ 1 时， ，20 时～ 21 时八个时 段中，入园人数最多的时段是 A. 13 时～ 1 时 B. 16 时～ 1 时 C. 18 时～ 1 时 D. 19 时～ 20 时 . 已知 cos 뿰  ，则 sin2  A. 1 2 B. 2 C. 뿰 2 D. 뿰 1 2 . 数列 ࢔ 满足 1  1 ，对 ，都有 1  1 ，则 1 1 1 2 1 201  A. 201 201 B. 201 2020 C. 0 201 D. 201 1010 . 在 䁨 ，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若内角 A，B，C 依次成等差数列， 且不等式 뿰 2 2 ൅ 0 的解集为 뿰 1羠2 ，则 b 等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. . “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体， 它体现了数学的对称美 . 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截 去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面 为正方形的“阿基米德多面体” . 若该多面体的棱长为 2 ，则其体积为 第 2 页，共 10 页 A. 0 2 B. 5 C. 1 D. 20 . 若函数  뿰 2 lnx 1 在 0羠2 上存在两个极值点，则 a 的取值范围为 A. 뿰 ∞羠 뿰 1 2 B. 뿰 1 羠 1 2 ∪ 1羠 ∞ C. 뿰 ∞羠 뿰 1 D. 뿰 ∞羠 뿰 1 ∪ 뿰 1 羠 뿰 1 2 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） . 下列各结论中正确的是 A. “ ൅ 0 ”是“ ൅ 0 ”的充要条件 B. “ 2 1 2 ”的最小值为 2 C. 命题“ ൅ 1 ， 2 뿰 ൅ 0 ”的否定是“ ∃0 1 ， 0 2 뿰 0 0 ” D. “函数  2 的图象过点 1羠0 ”是“  0 ”的充要条件 10. 设数列 ࢔ 是等差数列， 是其前 n 项和， 1 ൅ 0 且  ，则 A. ൅ 0 B.  0C. 或 为 的最大值 D. ൅ 11. 函数 的部分图象如图所 示，下列命题中的真命题是 A. 将函数 的图象向左平移 个单位，则所得函数的图象关于原点 对称 B. 将函数 的图象向左平移 个单位，则所得函数的图象关于原点对称 C. 当 [ 2 羠] 时，函数 的最小值为 뿰 2D. 当 [ 2 羠] 时，函数 的最大值为 2 12. 已知函数  2 2뿰2 ，则下列结论正确的是 A. 函数 有极小值也有最小值 B. 函数 存在两个不同的零点 C. 当 时，  a 恰有三个实根 D. 若 [0羠ǡ] 时 羠max  2 羠 则 t 的最小值为 2 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 第 页，共 10 页 1. 设 1 ， 2 是两个不共线的空间向量，若  21 뿰 2 ， 䁨  1 2 ， 䁨  1 a2 ， 且 A，C，D 三点共线，则实数 k 的值为______． 1. 若 ， ， 羠 羠 0羠 ，则 等于 ___________． 1. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4m，一只小 虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到 点 P 处 . 若该小虫爬行的最短路程为 2ͳ ，则圆锥底面圆的半 径等于 ͳ. 1. 定义方程  的实数根 0 叫做函数 的“新驻点”． 1 设  sin ，则 在 0羠 上的“新驻点”为_________． 2 如果函数  ln 1 与  的“新驻点”分别为 、 、那么 和 的大小 关系是_________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 1. 已知向量  1羠0 ，  ͳ羠1 ，且 与 的夹角为 ． 1 求 − 2 ； 2 若 与 垂直，求实数 的值． 2 18. 在 ͳ  羠 뿰 ，  뿰 羠 ，且 ͳ ， 2 뿰  2cos䁨 ， sin  cos 1 2 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在 䁨 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且________． 1 求角 B； 2 若  ，求 䁨 周长的最大值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 第 页，共 10 页 19. 政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研， 测算，有两个方案可供选择 . 方案 1 开设一个科技小微企业，需要一次性贷款 40 万元，第 一年获利是贷款额的 10 ，以后每年比上一年增加 2 的利润；方案 2 开设一家食品小店， 需要一次性贷款 20 万元，第一年获利是贷款额的 1 ，以后每年都比上一年增加利润 1.万元 . 两种方案使用期限都是 10 年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息 2 的复利计 算 参考数据： 1.2  . ， 1.2 10  . ， 1.02  1.20 ， 1.02 10  1.22 ． 110 年后，方案 1，方案 2 的总收入分别有多少万元？ 210 年后，哪一种方案的利润较大？ 20. 已知递增等比数列 ࢔ ，  2 ， 1  ，另一数列 ࢔ 其前 n 项和  2 ． 1 求 ࢔ 、 ࢔ 通项公式； 2 设 ࢔ 其前 n 项和为 ，求 ． 21. 已知 䁨 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足 ݅݅䁨 ݅  2뿰ܿ뿰ܿ䁨 ܿ ． 1 证明：b，a，c 成等差数列； 2 如图，若  ，点 O 是 䁨 外一点，设 ᦙ  0 䁞 䁞 ， ᦙ  2ᦙ  2 ，求平面四边形 OACB 面积的最大值． 22. 设  ݅ ܿ ，  2 ． 1 讨论 在 [ 뿰 羠] 上的单调性． 2 令  뿰 ，试证明 在 R 上有且仅有三个零点． 第 页，共 10 页 答案和解析 1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A 7.【答案】D 所以该多面体的体积为 2 뿰 × 1 × 1 2 × 1 × 1 × 1  20 ． 8.【答案】D 解：函数 在 0羠2 上存在两个极值点， 等价于  뿰 1 1 뿰 1 2 在 0羠2 上有两个零点， 令  0 ，则 뿰 1 뿰1 2  0 ，即 뿰 1 1 2  0 ， 뿰 1  0 或 1 2  0 ，  1 满足条件； 1 2  0 其中 1 且 0羠2 有且仅有一解， 뿰 1 2 ，其中 0羠1 ∪ 1羠2 ； 设 ǡ  2 ，其中 0羠1 ∪ 1羠2 ； 则 ǡ  2 2 ൅ 0 ， 函数 ǡ 是单调增函数， 뿰 1 2 至多有一解； ǡ 0羠 ∪ 羠 2 ， 뿰 ∞ 羠 뿰 1 ∪ 뿰 1 羠 뿰 1 2 ， 故选 D． 9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】ABD 解： 函数  2 2뿰2 ，  22 뿰 2 2뿰2 2  뿰 2 ， 令 ൅ 0 ，则 뿰 2 䁞 䁞 2 ，则函数 的单调增区间为 뿰 2羠2 ，单调减区间为 뿰 ∞ 羠 뿰 2 ， 2羠 ∞ ． 뿰 2 뿰 2 2 羠 2  2 ，且当 ൅ 2 时， ൅ 0 ，当 뿰 ∞时， ∞ ，当 ∞时， 0 ， 画出函数  的图象如下： 第 页，共 10 页 所以 的极小值就是最小值，故 A 正确； 函数 存在两个不同的零点，故 B 正确； 当 时，  a 恰有 2 个实根，故 C 错误； 若 [0羠ǡ] 时 羠max  2 羠 则 ǡ2 ，故 t 的最小值为 2，故 D 正确． 13.【答案】 2 14.【答案】 뿰 15.【答案】116.【答案】 1 ； 2 ． 解： 1 ， ， 令 ，即 ，得 ， ，解得 ， 所以，函数 在 上的“新驻点”为 ； 2 ， ， 则 ， ， 令 ，则 对任意的 恒成立， 所以，函数 在定义域 上为增函数， ， ， 由零点存在可得 ， 第 页，共 10 页 令 ，可得 ，即  1 ，所以， ． 故答案为： 1 ； 2 ． 17.【答案】解： 1  1羠0 ，  ͳ羠1 ，且 与 的夹角为 ．  ͳ ，  1 ，  ͳ 2 1 ， cos 䁞 羠 ൅  ͳ ͳ21  cos ，解得 ͳ  1 ，或 ͳ 뿰 1 舍 ， 뿰 2  뿰 1羠 뿰 2 ， 뿰 2  뿰 1 2 뿰 2 2  ； 2  1 羠 ， 与 垂直，  1 2  0 ， 解得 뿰 1 2 ． 18.【答案】解： 1 选 ͳ  羠 뿰 ，  뿰 羠 ， ͳ ， 뿰 뿰  0 ． 化简得， 2 2 뿰 2  ， 由余弦定理得 cos  2 2 뿰 2 2  2  1 2 ， 又因为 0 䁞 䁞 ，  ． 选 根据正弦定理，由 2 뿰  2ܿ䁨 得 ， 又因为 sin  sin 䁨  sincos䁨 sin䁨cos ， 所以 2sin䁨cos  sin䁨 ， 又因为 sin䁨 0 ， 所以 cos  1 2 ， 又因为 0羠 ， 所以  ． 选 由 sin  cos 1 2 ， 得 2 sin 1 2 cos  cos 1 2 ， 即 2 sin 뿰 1 2 cos  1 2 ， 第 页，共 10 页 所以 cos 뿰 1 2 ， 又因为 0羠 ， 所以  2 ， 因此  ． 2 由余弦定理 2  2 2 뿰 2cos ， 得 1  2 뿰 ． 又 2 ， 2 ，当且仅当  时等号成立，  2 뿰 1 2 ， 解得， ， 当且仅当   时，等号成立．  12 ． ▵ 䁨 周长的最大值为 12． 19.【答案】解： 1 方案 1 是等比数列，方案 2 是等差数列， 方案 1，一次性贷款 40 万元，第一年获利是贷款额的 10 ，即 4 万元，则 10 年后总收入： 1 1 2 ％ 1 2 ％ 2 ... 1 2 ％  × 1.2 10 − 1 0.2  12. 万元 ， 方案 2，一次性贷款 20 万元，第一年获利是贷款额的 1 ，即 3 万元，则 10 年后总收入： 1. 2 × 1. × 1.  10 × 10× 2 × 1.  . 万元 ， 10 年后，方案 1 总收入 12. 万元，方案 2 总收入 . 万元． 2 方案 1，银行贷款本息和： 01 2 10  . 万元 ， 故方案 1 利润为： 12. − .  万元 ． 方案 2，银行贷款本息和： 201 2 10  2. 万元 ， 故方案 2 利润为： . − 2.  .1 万元 ． ൅ .1 ， 方案 1 的利润较大． 第 页，共 10 页 20.【答案】解： 1 设公比为 q 的递增等比数列 ࢔ ，  2 ， 根据等比数列的性质 1   2 ，由于 1  ， 所以 1  2 1  ，解得 1  1 ，  2 ，进一步求出  2 ，所以  2 뿰1 ， 由于数列 ࢔ 其前 n 项和  2 . 当 2 时，  뿰 뿰1  2 뿰 뿰 1 2 뿰 뿰 1  2 ． 当  1 时， 1  2 符合通项公式 ，故  2 ， 2 由 1 得：  2 2 뿰1  1 2 뿰2 ， 所以  1 1 2 뿰1 2 1 2 0 1 2 뿰2 ，所以 1 2  1 1 2 0 2 1 2 1 1 2 뿰1 ， 뿰 ②得 1 2  1 2 뿰1 1 2 0 1 2 뿰2 뿰 1 2 뿰1 ， 整理得： 1 2  21뿰 1 2 1뿰 1 2 뿰 1 2 뿰1 ， 所以  뿰 1 2 뿰 뿰 1 2 뿰2  뿰 2 1 2 뿰2 ． 21.【答案】 1 证明：由 ݅݅䁨 ݅  2뿰ܿ뿰ܿ䁨 ܿ ， 可得： ݅ܿ ݅䁨ܿ  2݅ 뿰 ݅ܿ 뿰 ܿ䁨݅ ， 即 ݅ܿ ݅ܿ ݅䁨ܿ ܿ䁨݅  2݅ ， sin sin 䁨  2݅ ， 䁨  ， ݅䁨 ݅  2݅ ， 由正弦定理：  2 ， 故得 b，a，c 成等差数列； 2 解：由 1 可知  2 ，  ，则   ． 䁨 是等边三角形． 由题意 ᦙ  0 䁞 䁞 ， ᦙ  2ᦙ  2 ， 则 ， 余弦定理可得： 2  ᦙ 2 ᦙ 2 뿰 2 ᦙ ᦙ ܿ  뿰 ܿ ， 则 ． 故四边形 OACB 面积  ݅ 뿰 ܿ  2݅ 뿰 ． 0 䁞 䁞 ， 第 10 页，共 10 页 뿰 䁞 뿰 䁞 2 ， 当 뿰  2 时，S 取得最大值为 2  ， 故平面四边形 OACB 面积的最大值为 ． 22.【答案】解： 1  ݅ ܿ − ݅  ܿ ， 令  0 ，则  0 ，或  1 2 ， − 羠 − 1 2 时， ൅ 0 ， 单调递增， − 1 2 羠0 时， 䁞 0 ， 单调递减， 0羠 1 2 时， ൅ 0 ， 单调递增， 1 2 羠 时， 䁞 0 ， 单调递减， 证明： 2 h  2 − ݅ ܿ ，则 h 0  0 ， 故  0 是 h 的一个零点， h −  h 即 h 是偶函数， 要确定 h 在 R 上的零点个数只需确定 ൅ 0 时，h 的零点个数即可， 当 ൅ ൅ 0 时，h'  21 − 2ܿ ， 令 h'  0 ，即 ܿ  1 2 ，  1 ， 0羠 1 时，h' 䁞 0 ，h 单调递减，h 1 䁞 0 ， 1 羠 时，h' ൅ 0 ，h 单调递增，h ൅ 0 ， h 在 0羠 有唯一零点． 当 时，由于 ݅ 1 ， ܿ 1 ，h  2 − ݅ − ܿ 2 − −  2 − ， 令 ǡ  2 − ， 而 ǡ 在 [ 羠 ∞ 单调递增， ǡ ǡ ൅ 0 ，故 h ൅ 0 ， 故 h 在 [ 羠 ∞ 无零点， h 在 0羠 ∞ 有一个零点， 由于 h 是偶函数，h 在 − ∞ 羠0 有一个零点，而 h 0  0 ， 故 h 在 R 上有且仅有 3 个零点．