甘肃省嘉峪关市酒钢三中2018-2019学年高一上学期二模数学试题 含解析

甘肃省嘉峪关市酒钢三中2018-2019学年高一上学期二模数学试题 含解析

嘉峪关市酒钢三中2018~2019学年第一学期第二次考试 高一数学试卷 一：选择题。‎ ‎1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度不变，与y轴平行或重合的线段与x’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A．‎ 考点：斜二测画法。‎ 点评：注意斜二测画法中线段长度的变化。‎ ‎2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项，在定义域上是增函数，但是是非奇非偶函数，故错；‎ 选项，是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，故错；‎ 选项，是奇函数且在和上单调递减，故错；‎ 选项，是奇函数，且在上是增函数，故正确．‎ 综上所述，故选．‎ ‎3.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c（ ）‎ A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目已知，画出可能存在的情况，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】由于，异面，此时，和可能相交，也即共面，如图所示与相交；和也可能异面，如图所示与异面.综上所述，与不可能是平行直线.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间直线的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的零点所在的区间（ ）‎ A. B. C. （1,2） D. （2,3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在性定理，计算，由此确定函数零点所在区间.‎ ‎【详解】由于，根据零点存在性定理可知，函数的零点在区间.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.函数的图象可能是 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】采用特殊值验证法. 函数恒过（1,0），,只有C选项符合.‎ ‎[点评]函数大致图象问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知，，，则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的单调性与中间量0，1可求得三个数大小。‎ ‎【详解】由题意可得，所以，选B.‎ ‎【点睛】本题考查的是比较指数式及对数式值的大小，构造合适函数，利用指数函数与对数函数的性质及单调性，结合中间量是常用方法。‎ ‎7.已知，（且），则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数值为正数，判断出，再根据对数函数的单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于，故，故为定义域上的减函数，由得，故有.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎8.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为 的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：‎ 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：‎ 考点：三视图 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.的图象为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．‎ ‎【详解】由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，‎ 由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎10.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是(　　)‎ A. 1∶2 B. 2∶‎3 ‎C. 1∶3 D. 1∶4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆柱的底面半径，根据题目所给已知条件计算出侧面积与全面积，由此求得两者的比值.‎ ‎【详解】设圆柱底面半径为，则母线长为.故侧面积为，全面积为，所以侧面积与全面积的比是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积和全面积的计算，属于基础题.‎ ‎11.若函数且）在区间（0,2）上为减函数，则实数的取值范围为（　　）‎ A. 0＜＜1 B. 1＜＜‎2 ‎C. 1＜≤2 D. ≤＜1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】注意到为定义域上的的减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，根据对数函数的定义域有，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知对数型复合函数单调性求参数，考查对数函数的定义域，属于中档题.‎ ‎12.已知 ，若互不相等，且，则的取值范围为（　　）‎ A. （1，15） B. （10，15） C. （15，20） D. （10，12）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，结合图像化简计算出的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设，画出的图像如下图所示，由于，故，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.设全集，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合的补集，再求这个补集与集合的交集.‎ ‎【详解】依题意，故.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念及运算，属于基础题.‎ ‎14.下列命题正确的有________(只填序号)‎ ‎①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;‎ ‎③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;‎ ‎④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;‎ ‎⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理，对五个命题逐一分析，由此得出正确命题的序号.‎ ‎【详解】对于①，根据公理，直线有两个点平面内，则直线在平面内，故①正确.‎ 对于②，当直线和平面相交时，直线上有无数个点不平面内，故②错误.‎ 对于③，若两条异面直线中一条与一个平面平行，另一条直线可能在该平面内，故③错误.‎ 对于④，当直线和平面平行时，与平面没有公共点，故直线和平面内的直线平行或异面，故④正确.‎ 对于⑤，两条直线可能异面，故⑤错误.‎ 综上所述，正确的命题序号是：①④.‎ 故填：①④.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间中线线、线面和面面位置关系的命题真假性判断，属于基础题.‎ ‎15.一个长方体泥坯的长、宽、高分别为6、8、10，从中切削出一个最大的球的体积为___。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据长方体最短的边长，确定球的直径，由此求得球的体积.‎ ‎【详解】由于长方体最短的边长为，故球的直径长为，半径为，故体积为.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查长方体切割出球体的体积计算问题，属于基础题.‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离常数法求得的值域，由此求得函数的值域.‎ ‎【详解】依题意，由于，故，即的值域为，所以函数的值域是.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，考查世界数学文化，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.计算 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数运算公式，对所求表达式进行化简，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，原式.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,中心为O,且底面边长和侧棱长相等,M是PC的中点,求MO与AB所成的角的大小.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中位线得，故即直线与直线所成的角，根据等边三角形的性质求得的大小.‎ ‎【详解】连接交于，由于分别是的中点，故，故即直线与直线所成的角，由于四棱锥底面边长和侧棱长相等，故三角形是等边三角形，所以.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥.求：‎ ‎(1)三棱锥A′－BC′D表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎(2)三棱锥A′－BC′D的体积.‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）三棱锥A′BC′D为正四面体，表面积为四个正三角形面积，边长为正方体棱长倍，根据三角形面积公式以及正方形面积公式求比值（2）三棱锥A′BC′D的体积等于正方体体积减去4个小三棱锥体积.‎ 试题解析：(1)∵ABCDA′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，∴S三棱锥＝4××(a)2＝‎2‎a2，S正方体＝‎6a2，∴＝.‎ ‎(2)显然，三棱锥A′ABD、C′BCD、DA′D′C′、BA′B′C′是完全一样的，‎ ‎∴V三棱锥A′BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′ABD＝a3－4××a2×a＝a3.‎ 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.‎ ‎20.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，圆柱和圆锥的高均为2r，代入几何体体积公式计算即可．‎ 试题解析：‎ 设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，∴V圆锥＝πr2h，∴V球＝πr3，又h＝2r，‎ ‎∴V圆锥︰V球︰V圆柱＝(πr2h)︰(πr3)︰(πr2h)＝(πr3)︰(πr3)︰(2πr3)＝1︰2︰3.‎ 点睛：本题考查了空间几何体的体积，找到三个几何体的关系是解题关键.‎ ‎21.已知函数h(x)＝(m2－‎5m＋1)xm+1为幂函数，且为奇函数．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．‎ ‎【答案】（1）m＝0（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据幂函数定义得m2－‎5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根据幂函数为奇函数得m＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域 试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－‎5m＋1)xm+1为幂函数，∴m2－‎5m＋1＝1，. ‎ 解得m＝0或5 ‎ ‎ 又h(x)为奇函数，∴m＝0 ‎ ‎(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，‎ 令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]， ‎ ‎∴f(t)＝－t2＋t＋＝－ (t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.‎ ‎22.已知函数恒过定点．‎ ‎（1）求实数．‎ ‎（2）在（1）的条件下，将函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式．‎ ‎（3）对于定义在上的函数，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将点代入函数解析式列方程，由此解得的值.（2）根据图像变换的知识求得的解析式，进而求得的反函数的解析式.（3）根据的定义域，求得表达式中的取值范围，由此求得的取值范围，将不等式分离常数后，利用单调性求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）依题意，解得，故.（2）由（1）知，将函数的图象向下平移个单位得到，再向左平移个单位得到，指数函数的反函数是对数函数，故.（3）由于的定义域为，对于来说，由，得到.由不等式恒成立，化简得（）.令，函数在上为增函数，故，即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查函数图像变换，考查指数函数和对数函数互为反函数，考查不等式恒成立问题的求解策略——分离常数法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎