2020届二轮复习数列的通项学案（全国通用）
数列的通项
如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
求数列 an 通项公式的常用方法：
①前 n 项和与通项公式的关系；
②归纳法；
③累加（乘）法；
④待定系数法；
⑤辅助数列法．
前n项和与通项的关系
· 通项 an 与 Sn 的关系
通项 an 与 Sn 的关系为：an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n⩾2.
观察法
· 观察法
观察法就是写出数列前面若干项进行观察，横向看各项之间的关系，纵向看各项与序数的联系，寻找共同的构成规律，找出各项与项的序号 n 的函数关系，从而归纳出数列的通项公式的方法，这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明．
累加（乘）法
· 累加法
根据等差数列的定义得
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,⋯an-an-1=dn⩾2,
以上各式两边分别相加，得 an-a1=n-1d，所以 an=a1+n-1dn⩾2．如果数列 an 满足 an-an-1=fnn⩾2，则求数列 an 的通项公式可以用累加法．
· 累乘法
根据等比数列的定义得
a2a1=q,a3a2=q,a4a3=q,⋯anan-1=qn⩾2.
以上各式两边分别相乘，得 ana1=qn-1，所以 an=a1qn-1n⩾2．如果数列 an 满足 an=an-1⋅fnn⩾2，则求数列 an 的通项公式可以用累乘法．
待定系数法
若数列的递推公式形如 an+1=pan+q（p 、 q 为常数），p≠0．
1. 当 p=1 时，数列 an 是公差为 q 的等差数列．
2. 当 q=0 且 a1≠0 时，数列 an 为公比为 p 的等比数列．
3. 当 p≠1 且 q≠0 时，构造 an+1+x=pan+x，使得数列 an+x 是一个等比数列．
an+1+x=pan+x⇒an+1=pan+xp-1
再结合递推公式可得 xp-1=q，所以 x=qp-1，所以 an+qp-1 是一个以 a1+qp-1 为首项，以 p 为公比的等比数列，所以 an+qp-1=a1+qp-1pn-1，所以 an=a1+qp-1pn-1-qp-1 ．
辅助数列法
通过观察数列递推公式的结构特征，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为我们熟悉的等差或等比数列．
精选例题
数列的通项
1. 已知数列 an 满足 a1=33，an+1-an=2nn∈N+，则 ann 的最小值为 ．
【答案】 212
2. 已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn=12an-1an+2,n∈N*．设 bn=-1nanan+1, 则数列 bn 的前 2n 项和 T2n ．
【答案】 2n2+4n
【分析】 当 n=1 时，S1=12a1-1a1+2，即 a1=-1 或 a1=2．
因为 a1>0，所以 a1=2．
当 n⩾2 时，Sn=12an-1an+2，Sn-1=12an-1-1an-1+2，
两式相减得 an+an-1an-an-1-1=0．
又因为 an>0，所以 an+an-1>0，
所以 an-an-1=1，所以 an=n+1，
所以 T2n=-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+⋯-a2n-1a2n+a2na2n+1
=2a2+a4+⋯+a2n.
又 a2，a4，⋯，a2n 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，
所以 a2+a4+⋯+a2n=n3+2n+12=n2+2n．
3. 设数列 an 的 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，nSn+n+2an 为等差数列，则 an 的通项公式 an= ．
【答案】 n2n-1
【分析】 设 bn=nSn+n+2an，
因为数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=a2=1，
所以 b1=4，b2=8，
所以 bn=b1+n-1×8-4=4n，
即 bn=nSn+n+2an=4n．
当 n⩾2 时，Sn-Sn-1+1+2nan-1+2n-1an-1=0，
所以 2n+1nan=n+1n-1an-1，
即 2⋅ann=an-1n-1，
所以 ann 是以 12 为公比，1 为首项的等比数列，
所以 ann=12n-1，
所以 an=n2n-1．
4. 已知数列 an，bn 满足 a1=12，an+bn=1，bn+1=bn1-an2n∈N*，则 b2017= ．
【答案】 20172018
【分析】 因为 an+bn=1，a1=12，所以 b1=12，
因为 bn+1=bn1-an2，所以 bn+1=12-bn，
所以 1bn+1-1-1bn-1=-1，
又因为 b1=12，所以 1b1-1=-2，
所以数列 1bn-1 是以 -2 为首项，-1 为公差的等差数列，
所以 1bn-1=-n-1，
所以 bn=nn+1，则 b2017=20172018．
5. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-2n，则 a2+a18= ．
【答案】 34
6. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，nan+1=n+2Snn∈N*．
(1)求证：数列 Snn 为等比数列；
【解】 将 an+1=Sn+1-Sn 代入 nan+1=n+2Sn，
整理得 Sn+1n+1=2×Snnn∈N*．
又已知 S11=1，
所以数列 Snn 是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(2)求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn．
【解】 由（1）的结论可得 Snn=2n-1，
所以 Sn=n⋅2n-1．
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=n⋅2n-1-n-1⋅2n-2=2n-2n+1．
因为 a1=1，又当 n=1 时，2n-2n+1=1，
所以 an=n+1⋅2n-2n∈N*．
7. 在数列 an 中，Sn 是它的前 n 项和，且 an+1=4an-4an-1n∈N*且n⩾2，a1=1，a2=5．
(1)设 bn=αn+1-2ann∈N*，证明：数列 bn 是等比数列；
【解】 当 n⩾2 时，因为 an+1=4an-4an-1，
所以 an+1-2an=2an-2an-1，即 bn=2bn-1，
又 b1=a2-2a1=3，
所以数列 bn 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列．
(2)设 cn=an2nn∈N*，求数列 cn 的通项公式．
【解】 由（1）可知 bn=3⋅2n-1，n∈N*，
所以对于任意的 n∈N*，an+1-2an=bn=3⋅2n-1，
两边同除以 2n+1，得 an+12n+1-an2n=34，即 cn+1-cn=34，
又 c1=a12=12，
所以数列 cn 是以 12 为首项，34 为公差的等差数列．
所以 cn=12+34n-1=3n-14，n∈N*．
(3)在（1）（2）的基础上，写出数列 an 的通项公式．
【解】 an=2ncn=3n-14⋅2n．
8. 观察下列三角形数表
1⋯⋯第一行22⋯⋯第二行343⋯⋯第三行4774⋯⋯第四行51114115⋯⋯⋯⋯
假设第 n 行的第二个数为 ann⩾2,n∈N*，
(1)依次写出第六行的所有数字；
【解】 第六行的 6 个数字分别是 6，16，25，25，16，6．
(2)归纳出 an+1 与 an 的关系式，并求出 an 的通项公式．
【解】 依题意 an+1=an+nn⩾2，a2=2，
an=a2+a3-a2+a4-a3+⋯+an-an-1=2+2+3+⋯+n-1=2+n-2n+12,
所以 an=12n2-12n+1n⩾2．
9. 根据下面的条件，求各个数列的通项公式：
(1)数列 an 的前 n 项的和 Sn 满足：Sn=3n-2n∈N+；
【解】 当 n=1 时，a1=S1=1．
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=3n-2-3n-1-2=2⋅3n-1．
所以 an=1,n=12⋅3n-1.n⩾2
(2)数列 an 的前 n 项的和 Sn 满足：Sn=32an-1n∈N+
【解】 当 n=1 时，a1=S1=32a1-1，解得 a1=3．
当 n⩾2 时，由 Sn=32an-1, ⋯⋯①
得 Sn-1=32an-1. ⋯⋯②
①-② 得 an=32an-an-1，即 an=3an-1n⩾2．
所以数列 an 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，
所以 an=3n．
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2+n+3，求数列 an 的第 10 项．
【解】 Sn=2n2+n+3，
当 n=1 时，a1=S1=6；
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+3-2n-12+n-1+3=4n-1．
∴an=6n=1,4n-1n⩾2.
∴a10=4×10-1=39．
前n项和与通项的关系
1. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 1S1+1S2+⋯+1Sn=nn+1n∈N*，则 an= ．
【答案】 2n
【分析】 依题意，当 n=1 时，S1=2，故 a1=2．
因为 1S1+1S2+⋯+1Sn=nn+1，①
所以当 n⩾2 时，有 1S1+1S2+⋯+1Sn-1=n-1n，②
则 ①-② 得 1Sn=nn+1-n-1n，
所以 Sn=nn+1．上式对 n=1 也成立，
所以 Sn=nn+1n∈N*．故当 n⩾2 时，
有 an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=2n，对 n=1 也成立，
因此 an=2n．
2. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+n+1 ，则 a8+a9+a10+a11+a12= ．
【答案】 100
3. 数列 an 的前 n 项和 Sn=2n2-3n+1，则 a4+a5+a6+⋯+a10= ．
【答案】 161
4. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+n ，那么它的通项公式为 an= ．
【答案】 2n
5. 已知 Sn=2n+3，则 an= ．
【答案】 5n=12n-1n⩾2
6. 已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1，a3，a15 成等比数列，求数列 an 的通项 an．
【解】 ∵10Sn=an2+5an+6, ⋯⋯①
∴10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3．
又 10Sn-1=an-12+5an-1+6n⩾2, ⋯⋯②
由 ①-② 得，10an=an2-an-12+5an-an-1，
即 an+an-1an-an-1-5=0．
∵an+an-1>0，
∴an-an-1=5n⩾2．
当 a1=3 时，a3=13，a15=73．
a1，a3，a15 不成等比数列，
∴a1≠3．
当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，
∴a1=2，
∴an=5n-3．
7. 已知等差数列 an 中，a1=5，7a2=4a4，数列 bn 前 n 项和为 Sn，且 Sn=2bn-1n∈N+．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
【解】 设数列 an 的公差为 d，则由 7a2=4a4，得 75+d=45+3d，解得 d=3．
所以 an=3n+2n∈N+．
因为 Sn=2bn-1, ⋯⋯1
所以 Sn+1=2bn+1-1, ⋯⋯2
2-1 得 bn+1=2bn+1-2bn．即 bn+1=2bn．
由（1）得 b1=2b1-2，则 b1=2．
所以 bn 的首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 bn=2nn∈N+．
(2)设数列 cn=an,n为奇数bn,n为偶数 求 cn 的前 n 项和 Tn．
【解】 因为 cn=3n+2,n为奇数2n,n为偶数．
所以数列 cn 的奇数项组成首项为 5，公差为 6 的等差数列；数列 cn 的偶数项组成首项为 4，公比为 4 的等比数列；
（1）当 n 为偶数时，Tn=n2×5+12×n2×n2-1×6+41-4n21-4=34n2+n-43+13⋅2n+2；
（2）当 n 为奇数且 n⩾3 时，
Tn=Tn-1+an=34n-12+n-1-43+13⋅2n+1+3n+2=34n2+52n+512+13⋅2n+1．
经检验，当 n=1 时上式也成立．
综上所述，Tn=34n2+n-43+13⋅2n+2,n为偶数34n2+52n+512+13⋅2n+1.n为奇数
8. 已知各项均为正数的数列 an 的首项 a1=1，Sn 是数列 an 的前 n 项和，且满足：anSn+1-an+1Sn+an-an+1=λanan+1λ≠0,n∈N*．
(1)若 a1，a2，a3 成等比数列，求实数 λ 的值；
【解】 令 n=1，得 a2=21+λ．
令 n=2，得 a2S3-a3S2+a2-a3=λa2a3，
所以 a3=2λ+4λ+12λ+1．
由 a22=a1a3，得 21+λ2=2λ+4λ+12λ+1，
因为 λ≠0，所以 λ=1．
(2)若 λ=12，求 Sn．
【解】 当 λ=12 时，anSn+1-an+1Sn+an-an+1=12anan+1，
所以 Sn+1an+1-Snan+1+1an+1-1an=12，
即 Sn+1+1an+1-Sn+1an=12，
所以数列 Sn+1an 是以 2 为首项，公差为 12 的等差数列，
所以 Sn+1an=2+n-1⋅12，
即 Sn+1=n2+32an ⋯⋯①，
当 n⩾2 时，Sn-1+1=n2+22an-1 ⋯⋯②，
①-② 得，an=n+32an-n+22an-1，
即 n+1an=n+2an-1，
所以 ann+2=an-1n+1n⩾2，
所以 ann+2 是首项 为13 是常数列，
所以 an=13n+2．
代入 ① 得 Sn=n2+32an-1=n2+5n6．
9. 已知函数 y=fx-1 的图象经过点 1,0，且 fx=x2-x+b，数列 an 的前 n 项和 Sn=fnn∈N*．求数列 an 的通项公式．
【解】 因为函数 y=fx-1 的图象经过点 1,0，
所以函数 y=fx 的图象过点 0,0．
由 f0=0，得 b=0，
则 fx=x2-x，
所以 Sn=n2-n．
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=n2-n-n-12-n-1=2n-2；
当 n=1 时，a1=S1=0，满足上式．
所以数列 an 的通项公式为 an=2n-2n∈N*．
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，求 an．
(1) Sn=2n2-3n；
【解】 当 n=1 时，a1=S1=-1，
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2n-12-3n-1=4n-5，
∴ an=4n-5．
(2) Sn=3n-2．
【解】 当 n=1 时，a1=3-2=1，
当 n⩾2 时，an=Sn-Sn-1=3n-2-3n-1-2=2⋅3n-1，
∴ an=1,n=1,2⋅3n-1,n⩾2.
观察法
1. 观察下列等式：
13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
猜想：13+23+33+⋯+n3= （n∈N*）．
【答案】 nn+122
【分析】 由题意得，等式右边依次为 12，1+22，1+2+32，1+2+3+42 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 又 1+2+⋯+n2=nn+122，所以 13+23+33+⋯+n3=nn+122n∈N*．
2. 数列 xn 中，x1=tanα，且 xn+1=1+xn1-xn，则通项公式为 xn= ．
【答案】 tanα+n-14π
【分析】 由 xn+1=1+xn1-xn，x1=tanα，
得 x2=1+tanα1-tanα=tanπ4+tanα1-tanπ4tanα=tanα+π4，
x3=1+tanπ4+α1-tanπ4+α=tanπ4+tanπ4+α1-tanπ4⋅tanπ4+α=tanα+2π4，
依此类推：xn=tanα+n-14π．
3. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，若数列 an 的各项按照如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，⋯，1n，2n，⋯⋯ n-1n ⋯⋯，有如下运算和结论：
① a23=38；② S11=316；③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,⋯ 是等比数列；④数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,⋯ 的前 n 项和 Tn=n2+n4；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号 ．
【答案】 ②④
4. 设 an 是集合 2t+2s∣0⩽s
an，an+1+an-2anan+1=1n∈N*，求数列 an 的通项公式．
【解】 因为 an+1+an-2anan+1=1n∈N*，所以 an+1-an=1，所以
an-an-1=1,an-1-an-2=1,⋯a3-a2=1,a2-a1=1,
累加得 an-a1=1，所以 an=n2．
9. 设 a1=2，a2=4，数列 bn 满足：bn=an+1-an，bn+1=2bn+2，
(1)求证：数列 bn+2 是等比数列（要指出首项与公比）；
【解】 因为 bn+1=2bn+2，所以 bn+1+2=2bn+2，所以数列 bn+2 是以 2 为公比，b1+2=a2-a1+2=4 为首项的等比数列．
(2)求数列 an 的通项公式．
【解】 因为数列 bn+2 是以 4 为首项，以 2 为公比的等比数列，所以 bn=2n+1-2，an-an-1=bn-1,an-1-an-2=bn-2,⋯a3-a2=b2,a2-a1=b1, 累加得：an-a1=b1+b2+⋯=bn-1=41-2n-11-2-2n-1=2n+1-2n-2，所以 an=2n+1-2n．
10. 已知数列 an 中， a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2ann∈N*,bn=an+1-an ．
(1)判定数列 bn 是否为等比数列？说明理由．
【解】 由 an+2=3an+1-2ann∈N* 得 an+2-an+1=2an+1-an ，所以
bn+1bn=an+2-an+1an+1-an=2n∈N*
因为 a1=1,a2=3,b1=a2-a1=2 ，
所以 bn 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．
(2)求 bn,an ．
【解】 由(1)可知 bn=an+1-an=2n ，所以
an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n-1+2n-2+⋯+2+1=2n-1．
待定系数法
1. 已知数列 an 中，a1=3，n⩾2 时，an=4an-1+3，则通项公式 an= ．
【答案】 4n-1
【分析】 由 an=4an-1+3，变形得 an+1=4an-1+1，令 bn=an+1，得 bn=4bn-1，则 bn 为以 b1=a1+1=4 为首项，q=4 为公比的等比数列，所以 bn=4n，故 an=4n-1．
2. 数列 an 满足 a1=2，an=1-1an-1n=2,3,4,⋯，则 a4= ；若 an 有一个形如 an=Asinωn+φ+B 的通项公式，其中 A 、 B 、 ω 、 φ 均为实数，且 A>0，ω>0，φ<π2，则此通项公式可以为 an= （写出一个即可）．
【答案】 2；3sin2π3n-π3+12，n∈N*
3. 已知数列 an，a1=1，an+1=2an+2，则 an= ，Sn= ．
【答案】 3⋅2n-1-2；32n-1-2n
4. 已知数列 an 满足 3an+1+an=4，a1=9，前 n 项和为 Sn，则满足不等式 ∣Sn-n-6∣<1125 的最小正整数 n 为 ．
【答案】 7
【分析】 ∵ 3an+1+an=4，
设 an+1+p=-13an+p，对比系数，得 p=-1．
∴an+1-1=-13an-1，
∴an-1 是公比为 -13 的等比数列．
又 ∵a1=9，∴a1-1=8，
∴an-1=8-13n-1，
即 an=8-13n-1+1，则 Sn=n+6-6-13n，
∴Sn-n-6=6-13n<1125．
解得最小正整数 n 的值为 7．
5. 已知数列 an 满足 a1=1，an=3n-1+an-1（n⩾2），求 an．
【解】 对 an=3n-1+an-1 变形，可得 an-an-1=3n-1．
把以上式子中的 n 赋值，得到：
a2-a1=31，a3-a2=32，a4-a3=33⋯an-an-1=3n-1．
以上 n-1 个式子相加，得 an-a1=3+32+⋯+3n-1=31-3n-11-3=323n-1-1．
∴an=3n2-32+1=3n2-12．
6. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，n∈N*，已知 a1=1，a2=32，a3=54，且当 n⩾2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1．
(1)求 a4 的值；
【答案】 a4=78．
【分析】 本小问是对数列的和的概念的考查，已知数列的前 n 项和的关系，可以通过对 n 赋值求解数列的项．
【解】 当 n=2 时，4S4+5S2=8S3+S1 ，即
41+32+54+a4+51+32=81+32+54+1,
解得 a4=78．
(2)证明：an+1-12an 为等比数列；
【答案】 略
【分析】 本小问是证明数列是等比数列，一般我们利用定义，需要证明 an+2-12an+1an+1-12an 的比值是定值即可．
【解】 由 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1n⩾2，得
4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Snn⩾2,
即
4an+2+an=4an+1n⩾2.
当 n=1 时，
4a3+a1=4×54+1=6=4a2,
所以
4an+2+an=4an+1,n⩾1.
于是
an+2-12an+1an+1-12an=a4an+2-2an+14an+1-2an=4an+1-an-2an+14an+1-2an=2an+1-an22an+1-an=12.
（推导中用到：[a]）
因此数列 an+1-12an 是以 a2-12a1=1 为首项，12 为公比的等比数列．
(3)求数列 an 的通项公式．
【答案】 an=2n-1⋅12n-1．
【分析】 由 {an} 所满足的递推公式的形式可分析出，数列 {an} 的通项公式可以用待定系数法来求得．
【解】 由（2）知，an+1-12an=12n-1，即
an+112n+1-an12n=b4.
（推导中用到：[b]）
所以，数列 an12n 是以 a112=2 为首项，4 为公差的等差数列，所以
an12n=2+4n-1=4n-2,
即
an=2n-1⋅12n-1,
故数列 an 的通项公式为 an=2n-1⋅12n-1 ．
7. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=2an+1．求数列的通项公式及前 n 项和 Sn．
【解】 由已知 an+1=2an+1 变形为 an+1+1=2an+1，
所以数列 an+1 是以 a1+1=2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 an+1=2×2n-1=2n，
故 an=2n-1，
即 an 的前 n 项和 Sn=21-2n1-2-n=2n+1-2．
8. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=23an+1，求 an．
【解】 an+1=23an+1，得 an+1-3=23an-3．
∴ an+1-3an-3=23．
对以上式子赋值，得到 a2-3a1-3=23，a3-3a2-3=23，a4-3a3-3=23，⋯，an-3an-1-3=23．
对以上 n-1 个式子左、右两边分别相乘，得
a2-3a1-3⋅a3-3a2-3⋅a4-3a3-3⋅⋯⋅an-3an-1-3=23n-1,
即
an-3a1-3=23n-1,
∴ an-3=23n-1-2，
∴ an=3-223n-1．
9. 数列 an 满足 a1=1，且 8an+1an-16an+1+2an+5=0n⩾1，记 bn=1an-12n⩾1．
(1)求 b1 、 b2 、 b3 、 b4 的值；
【解】 解法1：
由 bn=1an-12 得 an=1bn+12，代入递推关系 8an+1an-16an+1+2an+5=0，整理得
4bn+1bn-6bn+1+3bn=0,
即 bn+1=2bn-43，由 a1=1，有 b1=2，所以 b2=83，b3=4，b4=203．
解法2：
a1=1，故 b1=11-12=2；
a2=78，故 b2=178-12=83；
a3=34，故 b3=134-12=4；
a4=1320，故 b4=203．
(2)求数列 bn 的通项公式及数列 anbn 的前 n 项和 Sn．
【解】 解法1：
由 bn+1=2bn-43，bn+1-43=2bn-43，b1-43=23≠0，所以 bn-43 是首项为 23，公比为 q=2 的等比数列，故 bn-43=13⋅2n，即
bn=13⋅2n+43n⩾1.
由 bn=1an-12 得 anbn=12bn+1，故
Sn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=12b1+b2+⋯+bn+n=131-2n1-2+53n=132n+5n-1.
解法2：因为 b1-43b3-43=23×83=432，b2-432=432，故
b1-43b3-43=b2-432,
故猜想 bn-43 是首项为 23，公比为 q=2 的等比数列．
因为 an≠2（否则将 an=2 代入递推公式会导致矛盾），故
an+1=5+2an16-8ann⩾1.
因为 bn+1-43=1an+1-12-43=16-8an6an-3-43=20-16an6an-3，2bn-43=2an-12-83=20-16an6an-3=bn+1-43，b1-43≠0，故 bn-43 是公比为 q=2 的等比数列．
因为 b1-43=23，故
bn-43=13⋅2n,
bn=13⋅2n+43n⩾1.
由 bn=1an-12 得 anbn=12bn+1，故
Sn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=12b1+b2+⋯+bn+n=131-2n1-2+53n=132n+5n-1.
辅助数列法
1. 已知数列 an 的第 1 项是 2，以后的各项由公式 an=an-11-an-1n=2,3,4,… 给出，则这个数列的通项公式是 ．
【答案】 an=23-2n
【分析】 两边取倒数，得 1an-1an-1=-1．
2. 数列 an 中，a1=1，且 an+1=2an+1，则 an 的通项公式为 an= ．
【答案】 2n-1n∈N*
【分析】 由 an+1=2an+1 知 an+1+1=2an+1，所以数列 an+1 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an=2n-1n∈N*．
3. 已知数列 an 满足 1-2an-1+an-1an=0（n⩾2，n∈N*），a1=2，则数列 an 的通项公式为 ．
【答案】 an=n+1n
【分析】 由已知得 an=2-1an-1，所以 an-1=1-1an-1=an-1-1an-1，所以 1an-1=an-1-1+1an-1-1=1+1an-1-1，所以 1an-1 是首项为 1a1-1=1，公差为 1 的等差数列．所以 1an-1=n，an=n+1n．
4. 设 an 为首项 a1=4 的单调递增数列，且满足 an+12+an2+16=8an+1+an+2an+1an，则 an= ．
【答案】 4n2
【分析】 由已知，得
an+1+an2-8an+1+an+16=4an+1an,
即
an+1+an-42=4an+1an,
根据题意，数列 an 的各项为正，则
an+1+an-4=2an+1an,
即
an+1-an2=4,
两端开方，得
an+1-an=2,
则数列 an 是首项为 2 、公差为 2 的等差数列．
因此，an=2n，即 an=4n2．
5. 已知 fx 是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意 a,b∈R，满足下列关系式：f2=2，fa⋅b=afb+bfa，an=f2nn,n∈N*，bn=f2n2n,n∈N*，考察下列结论：
① f0=f1；
② fx 为偶函数；
③数列 an 为等比数列；
④数列 bn 为等差数列．
其中正确的结论有 ．
【答案】 ①③④
【分析】 令 a=0，b=0 可得 f0=0，令 a=b=1 可得 f1=0，所以 f0=f1，①正确；
令 a=b=-1 可得 f-1=0，然后令 a=x，b=-1 可得 f-x=-fx，所以 fx 为奇函数，②错误；
令 a=2n-1，b=2 可得 f2n=2f2n-1+2n，两边同除以 2n 可得 f2n2n=f2n-12n-1+1，则 f2n2n 是等差数列，求得 f2n=n⋅2n，所以③④正确．
6. 数列 an 中，a1=1, an+1=2an+3, 求数列 an 的通项公式．
【解】 解法一：迭代
an+1=2an+3=22an-1+3=22an-1+2+1×3=222an-2+3+2+1×3=23an-2+22+2+1×3⋯=2na1+2n-1+2n-2+⋯+1×3=2n+2-3
显然 a1=1 也满足上式，所以 an=2n+1-3.
解法二：叠加
an+1=2an+3，
2an=22an-1+3×2，
22an-1=23an-2+3×22，
⋯
2n-1a2=2na1+3×2n-1，
2na1=2n，
将以上各式叠加，得 an+1=2n+2-3. 以下同解法一．
解法三：构造等比数列．
n⩾2 时，an+1=2an+3, an=2an-1+3, 两式相减，
得 an+1-an=2an-an-1. 又 a2-a1=4,
所以数列 an+1-an 是以 a2-a1=4 为首项，2 为公比的等比数列．
所以 an+1-an=4×2n-1=2n+1,
所以 an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n+1-3.
解法四：构造等比数列．
由 an+1=2an+3, 两边同时加 3，得 an+1+3=2an+3. 因为 a1+3=4, 所以，数列 an+3 是以 a1+3=4 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an+3=4×2n-1=2n+1. 以下略．
解法五：由 an+1=2an+3, 两边同时除以 2n+1, 得 an+12n+1=an2n+32n+1.
所以 an2n=an-12n-1+32n=an-22n-2+32n-1+32n=⋯=a12+322+323+⋯+32n=2-32n. 以下略．
7. 已知函数 fx=x+14+x-14x+14-x-14（x≠0）．
(1)若 fx=x 且 x∈R，则称 x 为 fx 的实不动点，求 fx 的实不动点；
【解】 由 fx=x4+6x2+14x3+4x 及 fx=x，得 x4+6x2+14x3+4x=x．整理得 3x4-2x2-1=0，解得 x2=1 或 x2=-13（舍去），所以 x=1 或 -1，即 fx 的实不动点为 x=1 或 x=-1．
(2)在数列 an 中，a1=2，an+1=fan（n∈N*），求数列 an 的通项公式．
【解】 由条件得 an+1=an+14+an-14an+14-an-14．
所以 an+1+1an+1-1=an+14an-14=an+1an-14．
从而有 lnan+1+1an+1-1=4lnan+1an-1．
由此及 lna1+1a1-1=ln3≠0 知：数列 lnan+1an-1 是首项为 ln3，公比为 4 的等比数列，故有 lnan+1an-1=4n-1ln3，所以 an+1an-1=34n-1，即 an=34n-1+134n-1-1（n∈N*）．
8. 数列 an 满足 a1=1，an+1=anan+1，求 an．
【解】 将等式两边取倒数得 1an+1=1an+1，即 1an+1-1an=1，
所以 1an 是以 1a1=1 为首项，d=1 为公差的等差数列．
所以 1an=1+n-1×1=n．
所求通项公式为 an=1n．
9. 已知数列 xn，yn 满足 x1=x2=1,y1=y2=2，并且 xn+1xn=λxnxn-1,yn+1yn⩾λynyn-1（λ 为非零参数，n=2,3,4,⋯）．
(1)若 x1，x3，x5 成等比数列，求参数 λ 的值；
【解】 由已知 x1=x2=1，且
x3x2=λx2x1⇒x3=λ,
x4x3=λx3x2⇒x4=λ3,
x5x4=λx4x3⇒x5=λ6,
又 x1，x3，x5 成等比数列，则
x32=x1x5
即
λ2=λ6
而 λ≠0，解得 λ=±1．
(2)当 λ>0 时，证明 xn+1yn+1⩽xnynn∈N*；
【解】 由已知 λ>0,x1=x2=1 及 y1=y2=2，可得
xn>0,yn>0.
由不等式的性质，有
yn+1yn⩾λynyn-1⩾λ2yn-1yn-2⩾⋯⩾λn-1y2y1=λn-1.
另一方面
xn+1xn=λxnxn-1=λ2xn-1xn-2=⋯=λn-1x2x1=λn-1.
因此
yn+1yn⩾λn-1=xn+1xnn∈N*.
故
xn+1yn+1⩽xnynn∈N*.
(3)当 λ>1 时，证明
x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+⋯+xn-ynxn+1-yn+1<λλ-1n∈N*．
【解】 当 λ>1 时，由（2）可知
yn>xn⩾1n∈N*.
又由（2）中 xn+1yn+1⩽xnynn∈N*，则
yn+1-xn+1xn+1⩾yn-xnxn
从而
yn+1-xn+1yn-xn⩾xn+1xn=λn-1n∈N*.
因此
x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+⋅⋅⋅+xn-ynxn+1-yn+1⩽1+1λ+⋅⋅⋅+1λn-1<λλ-1.
10. 已知函数 fx=3xx+3，数列 xn 中，xn=fxn-1，若 x1=12，试求 x100 的值．
【解】 ∵ xn=fxn-1，
∴ xn=3xn-1xn-1+3，
∴ 1xn=xn-1+33xn-1=13+1xn-1，即 1xn-1xn-1=13．
故数列 1xn 是以 1x1=2 为首项，13 为公差的等差数列．
∴ 1x100=2+99×13=35．
∴ x100=135．
课后练习
1. 已知首项都是 1 的两个数列 an,bn（bn≠0，n∈N*）满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0．令 cn=anbn，则数列 cn 的通项公式为 ．
2. 已知数列 an 中，a1=1，an+1=an1-nan+1，则数列 an 的通项公式为 ．
3. 在数列 an 中，已知 Sn=n2+3，则 a5= ．
4. 已知数列 an 前 n 项和为 Sn=2n2+1,n∈N*，则 an= ．
5. 数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-2n+2，则通项公式 an ．
6. 数列 an 的前 n 项和 Sn=3+2nn∈N* ，则其通项公式为 ．
7. 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 Sn=3n-2，则 an= ．
8. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5 ，则 a6+a7+a8= ．
9. 数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1=1 ， Sn=n2an ，那么 an= ．
10. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-4n+1，则 an= ．
11. 根据下面的图形及相应的点数，写出由点数构成的数列 an 的一个通项公式为
12. 数列 1+22，12，1+22，12，⋯，的一个通项公式为 ．
13. 已知数列 an 的前 4 项为 11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为 ．
14. 数列 152，245，3510，4817，6326，⋯ 的一个通项公式为 ．
15. 数列 -1，4，-16，64，-256，⋯ 的一个通项公式 an= ．
16. 在数列 an 中，a1=2，an+1=an+3nn∈N*，则 an= ．
17. 数列 an 满足 a1=0，an+1=an+n，那么 a100 的值是 ．
18. 已知数列 an 满足 an+1an=n+2n（n∈N*），且 a1=1，则 an= ．
19. 在数列 an 中，a1=1，且对于任意自然数 n，都有 an+1=an+n，则 a100= ．
20. 已知数列 an 满足 a1=12，an=a1+2a2+3a3+⋯+n-1an-1（n⩾2），则 an 的通项 an=12n=1, n⩾2. 横线处应填 ．
21. 已知 fx=x1+xx⩽0，数列 an 满足 a1=f1，且 an+1=fann∈N+，则 a2015= ．
22. 已知数列 an 满足：a1=1，且 an=2an-1+1n⩾2,n∈N*，则 an= ．
23. 在数列 an 中，a1=1．若点 ann,an+1n+1 在直线 x-y+1=0 上，则 an= ．
24. 在数列 an 中，a1=1，an+1=23an+13，求 an= ．
25. 已知 fx 是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x,y∈R，都有 fx⋅y=xfy+yfx 成立．数列 an 满足 an=f2n n∈N*，且 a1=2．则数列的通项公式 an= ．
26. 根据下面各个数列 an 的首项和递推关系，求其通项公式：
(1)a1=1，an+1=an+2nn∈N+；
(2)a1=1，an+1=nn+1ann∈N+；
(3)a1=1，an+1=an2an+1n∈N+．
27. 根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：
(1)12×4，-45×7，98×10，-1611×13，⋯
(2)1，3，6，10，15，⋯
(3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，⋯
28. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且 a1，a2+5，a3 成等差数列．
(1)求 a1 的值；
(2)求数列 an 的通项公式．
29. 已知数列 an 满足 a1=1，n-1an=n×2nan-1n∈N,n⩾2，求数列 an 的通项公式．
30. 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10⋯
记表中的第一列数 a1 ,a2，a4，a7，⋯ 构成的数列为 bn，b1=a1=1．Sn 为数列 bn 的前 n 项和，且满足 bn=Sn2Sn-2n⩾2．
(1)证明：1Sn-1Sn-1=12n⩾2；
(2)求数列 bn 的通项公式；
(3)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当 a94=-9105 时，求上表中第 kk⩾3 行所有项的和．
31. 已知数列 an 中，an>0，且对于任意正整数 n 有 Sn=12an+1an，
(1)求 S1，S2；
(2)求证：Sn2 是等差数列；
(3)求通项 an．
32. 在数列 an 中，已知前 n 项和 Sn=3+2an,
(1)求数列的通项公式 an．
33. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 log21+Sn=n+1，求它的通项公式．
34. 设 an 是正数组成的数列，且有 an+2=22Sn 对 n⩾1 恒成立，求 an．
35. 设数列 an 是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，并且对所有正整数 n，an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项．
(1)写出数列 an 的前 3 项；
(2)求数列 an 的通项公式．
36. 写出下列各数列的一个通项公式．
(1)12，2，92，8，252，⋯；
(2)1，0，13，0，15，0，17，⋯；
(3)0.9，0.99，0.999，0.9999，⋯．
37. 数列的前四项分别是下列各数，写出各数列的通项公式：
(1)12，13，14，15，⋯
(2)22-12，32-13，42-14，52-15，⋯
(3)11×2，-12×3，13×4，-14×5，⋯
38. 请写出下面数列的一个通项公式： 12 ， 2 ， 92 ， 8 ， 252⋯ ，
39. 根据数列的前 4 项，写出下列数列的一个通项公式．
(1) 0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯；
(2) 112,245,3910,41617,⋯；
(3) 12,34,78,1516,⋯；
(4) 3,5,9,17,⋯．
40. 已知函数 fx=11+x2x≠-1，数列 xn 满足：xn=1-f1⋅1-f2⋅⋯⋅1-fn．
(1)求 x1，x2，x3，x4；
(2)归纳出 xn 的通项公式（不必证明）．
41. 已知数列 an 满足：a1=2，an+1+1=a1a2a3⋯an．
(1)求 a2 的值；
(2)（i）证明：当 n⩾2 时，an2=an+1-an+1；
（ii）若正整数 m 满足 a1a2a3⋯am+2015=a12+a22+a32+⋯+am2，求 m 的值．
42. 数列 an 中，a1=2，an+1-an=3n，n∈N*，求数列 an 的通项公式 an．
43. 已知数列满足 a1=1，an=3n-1+an-1n⩾2，求 an 的通项公式．
44. 在数列 an 中，a1=2，an+1=n+2nan，求 an．
45. 已知 a1=1，an+1an=n+2n，求 an．
46. 已知数列 an 满足 a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求数列 an 的通项公式．
47. 在数列 an 中，a1=a，且 an+1=2Sn-2n-n2n∈N*．
(1)若 a1，a2，a3-5 成等比数列，求 a 的值；
(2)求通项公式 an．
48. 已知数列 an 中 a1=2，an+1=2-1an+2，n=1,2,3,⋯．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 中 b1=2，bn+1=3bn+42bn+3，n=1,2,3,⋯．
证明：20 ，数列 an 满足 a1=b ， an=nban-1an-1+n-1n⩾2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数 n ， 2an⩽bn+1+1 ．
54. 设 b>0，数列 an 满足 a1=b，an=nban-1an-1+2n-2n⩾2．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数 n，an⩽bn+12n+1+1．
55. 在数列 an 中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0n>1,且n∈N+
(1)证明：数列 1an 是等差数列；
(2)求数列 an 的通项公式．
数列的通项-出门考
姓名 成绩
1. 已知数列 an 满足 a1=43，2-an+1=12an+6n∈N*，则 i=1n1ai= ．
2. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=-2n2+3n，则数列 an 的通项公式为 ．
3. 设各项均为正数的数列 an 的前 n 项之积为 Tn，若 Tn=2n2-n，则数列 an+632n-1 中最小项的序号 n= ．
4. 已知数列 an 满足：∀m,n∈N* 都有 am⋅an=am+n，且 a1=2．记数列 bn=an2+a2na2n-1 的前 n 项和为 Sn，则 Sn= ．
5. 数列 an 中， a1=1，an+1=3an+2 ，则通项 an= ．
6. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an+1，则 a7= ．
7. 数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2 ，则其通项通项 an= ．
8. 数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2+3n+1，则它的通项公式是 ．
9. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，点 (n,Snn)(n∈N*) 均在函数 y=3x-2 的图象上．则数列 {an} 的通项公式为 ．
10. 在数列 an 中，其前 n 项和 Sn=4n2-n-8 ，则 a4= ．
11. 函数 fx 由下表定义：
x25314fx12345
若 a0=5，an+1=fan，n=0，1，2 ⋯，则 a2014= ．
12. 已知一组数 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按这组数的规律，x 应为 ．
13. 观察下列数的特点：在 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，⋯ 中，第 100 项的值是 ．
14. 已知数列 314，518，7116，9132，⋯，试写出它的一个通项公式： ．
15. 已知数列 an 的第 1 项 a1=1，且 an+1=an1+2an n=1,2,⋯，试归纳出这个数列的通项公式 an= ．
16. 已知数列 an 中，a1=1，nan=a1+2a2+3a3+…+n-1⋅an-1n⩾2，则 a2010= ．
17. 已知数列 an 中，a1=12，an+1=an+1kn2-1，则当 k=0 时，a10= ，当 k=4 时，a10= ．
18. 根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有 个点．
19. 设 an 是首项为 1 的正项数列，并且 n+1an+12-nan2+an+1⋅an=0（n∈N*），则数列 an 的通项公式为 an= ．
20. 如图，一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行的首尾两数均为 ，第 n 行的第 2 个数为 ．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
⋯⋯⋯
21. 已知数列 an 满足：an+12=an2+4，且 a1=1，an>0，则 an= ．
22. 已知数列 an 满足 an+1+an-1an+1-an+1=n（n 为正整数），且 a2=6，则数列 an 的通项公式为 an= ．
23. 在数列 an 中，a1=1，an+1=an1+3ann∈N*，则数列 an 的通项公式 an=
24. 按下列程序框图运算：
规定：程序运行到"判断结果是否大于 244 "为 1 次运算．
若 x=5，则运算进行 次才停止；若运算进行 kk∈N*,k>1 次才停止，则 x 的取值范围是 ．
25. 已知函数 fx=2x+3，数列 an 满足：a1=1，且 an+1=fann∈N*，则该数列的通项公式 an= ．
26. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
(1)35，48，511，614，⋯；
(2)-1，85，-157，249，⋯；
(3)0.9，0.99，0.999，0.9999，⋯，
27. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n1+an2n=1,2,3,⋯．
(1)求 a1 的值；
(2)求证：n-2an+1=n-1an-1n⩾2；
(3)判断数列 an 是否为等差数列，并说明理由．
28. 已知数列 an 中，a1=1，前 n 项和 Sn=n+23an．
(1)求 a2，a3；
(2)求 an 的通项公式．
29. 设数列 an 满足 a1 =6，a2=4，a3=3，且数列 an+1-an n∈N* 是等差数列，求数列 an 的通项公式．
30. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 an+1=2Sn+2n∈N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列，设数列 1dn 的前 n 项和 Tn，证明：Tn<1516．
31. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an-n2+3n-2n∈N*．
(1)求证：数列 an+2n 为等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=Sn+n2an+2n，求数列 bn 的前 n 项和 Bn；
(3)设 Cn=log2an+2n-2，数列 dn 满足：dn⋅Cn+3Cn+4=1+n+1n+22Cn，数列 dn 的前 n 项和为 Tn，求使 2Tn⩾2n-11009 成立的最小整数．
32. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=1+Snn∈N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 为等差数列，且 b1=a1，公差为 a2a1．当 n⩾3 时，比较 bn+1 与 1+b1+b2+⋯+bn 的大小．
33. 已知下面各数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式，求 an 的通项公式．
(1) Sn=2n2-3n；
(2) Sn=3n-2．
34. 已知数列 an 的前 n 项和为 SnSn≠0，且 an+2SnSn-1=0（n⩾2，n∈N*），a1=12．
(1)求证：1Sn 是等差数列；
(2)求 an；
(3)若 bn=21-nann⩾2，求证：b22+b32+⋯+bn2<1．
35. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=32an-3，求数列 an 的通项公式．
36. 设数列 an 满足 a1=1，an+1-an=3n2+3n+1，写出这个数列的前 5 项并归纳通项公式．
37. 已知点的序列 Anxn,0，n∈N*，其中 x1=0，x2=a（a>0），A3 是线段 A1A2 的中点，A4 是线段 A2A3 的中点，⋯，An 是线段 An-2An-1 的中点，⋯．
(1)写出 xn 与 xn-1，xn-2 之间的关系式 n⩾3;
(2)设 an=xn+1-xn，计算 a1，a2，a3，由此推测数列 an 的通项公式．
38. 请写出下面数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯．
39. 写出数列 -12,16,-112,120,⋯ 的一个通项公式．
40. 已知数列 an 中，a1=3，a10=21，通项 an 是项数 n 的一次函数．
(1)求 an 的通项公式，并求 a2005；
(2)若 bn 是由 a2，a4，a6，a8，…，组成，试归纳 bn 的一个通项公式．
41. 在数列 an 中，已知 a1=1，且 an+1=an+ann+1，试求数列 an 的通项公式．
42. 已知数列 an 中，a1=1，anan-1=n-1n+1（n⩾2 且 n∈N+），求数列 an 的通项公式．
43. 已知数列 an 满足 a1=1，an=3n-1+an-1n⩾2，
(1)求 a2，a3；
(2)证明：an=3n-12．
44. 已知数列 an 满足，a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．
(1)令 bn=an+1-an，证明：bn 是等比数列；
(2)求 an 的通项公式．
45. 设 an 是首项为 1 的正项数列，且 n+1an+12-nan2+an+1an=0（n=1,2,3,⋯），求它的通项公式．
46. 已知数列 bn 满足 bn+1=12bn+14，且 b1=72，Tn 为 bn 的前 n 项和．
(1)求证：数列 bn-12 是等比数列，并求 bn 的通项公式；
(2)如果对任意 n∈N*，不等式 12k12+n-2Tn⩾2n-7 恒成立，求实数 k 的取值范围．
47. 已知数列 an 满足：a1=1，a2=2，且 an+1=2an+3an-1 n⩾2,n∈N+．
(1)设 bn=an+1+ann∈N+，求证 bn 是等比数列；
(2)（i）求数列 an 的通项公式；
（ii）求证：对于任意 n∈N+ 都有 1a1+1a2+⋯+1a2n-1+1a2n<74 成立．
48. 某种细胞开始时有 2 个，1 小时以后，分裂成 4 个并死亡 1 个，2 小时后，分裂成 6 个并死亡 1 个，3 小时后，分裂成 10 个并死亡 1 个 ⋯⋯ 按此规律，10 小时后存活的细胞有多少个？
49. 已知数列 an，Sn 是其前 n 项的和且满足 3an=2Sn+nn∈N*．
(1)求证：数列 an+12 为等比数列；
(2)记 Tn=S1+S2+⋯+Sn，求 Tn 的表达式．
50. 数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-3n（n∈N*）．
(1)求数列 an 的通项公式 an．
(2)数列 an 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
51. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n-ann∈N+．
(1)求证：数列 an-1 为等比数列，并写出 an 的通项公式；
(2)设 bn=aan-1-2n+1a为常数．若 b3>0，当且仅当 a=3 时，bn 取到最小值，求 a 的取值范围．
52. 已知数列 an 的首项 a1=53，3an+1=an+2．n∈N+．
(1)求证：数列 an-1 为等比数列；
(2)若 a1+a2+⋯+an<100，求最大的正整数 n．
53. 已知点 1,13 是函数 fx=axa>0且a≠1 的图象上一点，等比数列 an 的前 n 项和为 fn-c，数列 bnbn>0 的首项为 c，且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1=Sn+Sn-1n⩾2．记数列 1bnbn+1 前 n 项和为 Tn，
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若对于任意正整数 n，当 m∈-1,1 时，不等式 t2-2mt+12>Tn 恒成立，求实数 t 的取值范围．
(3)是否存在正整数 m，n，且 1
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