2019届二轮复习简单的线性规划课件（47张）（全国通用）（全国通用）

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第三章 不等式 渭源县第二中学 何华 简单线性规划的应用 在实际问题中常遇到两类问题： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理地安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它 . 下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用 . 1. 体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题； ( 重点） 2. 利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3. 培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力 . 一、用量最省问题 例 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物 ,0.06 kg 的蛋白质 ,0.06 kg 的脂肪 .1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物 ,0.07 kg 蛋白质 ,0.14 kg 脂肪 , 花费 28 元 ; 而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物 ,0.14 kg 蛋白质 ,0.07 kg 脂肪 , 花费 21 元 . 为了满足营养专家指出的日常饮食要求 , 同时使花费最低 , 需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 探究点 1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用 【 解题关键 】 将已知数据列成下表： 0.07 0.14 0.105 0.14 0.07 0.105 B A 脂肪 /kg 蛋白质 /kg 碳水化合物 /kg 食物 /kg 【 解析 】 设每天食用 x kg 食物 A, y kg 食物 B, 总成本为 z. 那么 x,y 满足的约束条件是 : ① 目标函数为 z =28 x +21 y. 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域 . ② 二元一次不等式组①等价于 x O y M 由图知 , 当直线 经过可行域上的点 M 时 , 截距 最小 , 即 z 最小 . 解方程组 得 M 的坐标为 所以 z min =28x+21y=16. 答：每天食用食物 A 约 143 g ，食物 B 约 571 g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16 元 . 解线性规划应用问题的一般步骤： 1. 理清题意，列出表格； 2. 设好变量，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数； 3. 准确作图； 4. 根据题设精确计算 . 【 规律总结 】 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ，冶炼每万吨铁矿石的 CO 2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表： a b ( 万吨 ) c ( 百万元 ) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9( 万吨 ) 铁，若要求 CO 2 的排放量不超过 2( 万吨 ) ，则购买铁矿石的最少费用为 ________ ( 百万元 ) ． 【 变式练习 】 15 目标函数为 z ＝ 3 x ＋ 6 y ，当目标函数经过 (1,2) 点时目标函数取最小值，最小值为： z min ＝ 3×1 ＋ 6×2 ＝ 15. 例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A ， B ， C 三种规格 , 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 : A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 2 1 3 今需要 A ， B ， C 三种规格的成品分别 15,18,27 块，用数学关系式和图形表示上述要求．各截这两种钢板多少张可得所需 A ， B ， C 三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 规格类型 钢板类型 【 解题关键 】 列表 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 2 1 3 张数 成品块数 【 解析 】 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，共需截这两种钢板共 z 张，则 线性目标函数 2x+y=15 x+3y=27 x+2y=18 x O y 作出一组平行直线 z=x+y ，当直线经过可行域上的点 M 时， z 最小 . 作出可行域如图所示： 由于 都不是整数，而此问题中的最优解 中， 必须都是整数，所以点 不是最优解 . 解方程组 得 使截距 z 最小的直线为 ， 经过的整点是 B(3,9) 和 C(4,8) ， 它们是最优解 . 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张；两种截法都最少要两种钢板 12 张 . 两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供 12 毫克阿司匹林， 70 毫克小苏打， 28 毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？ 　 成分 种类　 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格 ( 元 ) A ( 毫克 / 片 ) 2 5 1 0.1 B ( 毫克 / 片 ) 1 7 6 0.2 【 变式练习 】 由于 A 不是整点，因此不是 z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是 x ＋ y ＝ 11 ，经过的整点是 (1,10) ， (2,9) ， (3,8) ， 因此 z 的最小值为 11. 药片最小总数为 11 片． 同理可得，当 x ＝ 3 ， y ＝ 8 时， k 取最小值 1.9 ， 因此当 A 类药品 3 片、 B 类药品 8 片时，药品价格最低． 例 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 t 、硝酸盐 18 t ；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 t 、硝酸盐 15 t ．现在库存磷酸盐 10 t 、硝酸盐 66 t ，在此基础上生产这两种混合肥料 . 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10 000 元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 5 000 元 . 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 二、效益最佳问题 【 解析 】 设生产 x 车皮甲种肥料、 y 车皮乙种肥料，能够产生利润 z 万元，则目标函数为 4 18 1 15 甲种肥料 乙种肥料 磷酸盐 (t) 硝酸盐 (t ） 总吨数 车皮数 利润 ( 元 ) 10 000 5 000 【 解题关键 】 列表 y x O 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 作出可行域， 得到斜率为 -2 ，在 y 轴上的截距为 2z ，随 z 变化的一族平行直线 . 答：生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大利润，最大利润为 3 万元 . 某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t 、 B 种矿石 5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t 、 B 种矿石 4 t 、煤 9 t. 每吨甲种产品的利润是 600 元，每吨乙种产品的利润是 1 000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t 、 B 种矿石不超过 200 t 、煤不超过 363 t. 甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大 ? 【 变式练习 】 【 解题关键 】 将已知数据列成下表： A 种矿石 (t) B 种矿石 (t) 煤 (t) 甲产品 (1 t) 乙产品 (1 t) 资源限额 (t) 利润 ( 元 ) 10 5 4 600 4 4 9 1 000 300 200 363 【 解析 】 设生产甲、乙两种产品分别为 x t 、 y t ，利润总额为 z 元，则 作出如图所示的可行域， y x O 10 10 解方程组： 答：甲、乙两种产品应各生产 12 t,35 t ，能使利润总额达到最大，利润总额最大为 42 200 元 . 得点 例 4 若二次函数 的图象过原点，且 求 的范围 . 探究点 2 利用简单线性规划求变量的范围 作出如图所示的可行域， 由图可知， 将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误 . 【 规律总结 】 （ 2013· 北京高考）设 D 为不等式组 表示的平面区域，区域 D 上的点与 点（ 1 ， 0 ）之间的距离的最小值为 ___________. 【 变式练习 】 B D -5 216000 1. 设所求的未知数； 2. 列出约束条件； 3. 建立目标函数； 4. 作出可行域； 5. 运用图解法，求出最优解 ; 6. 实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解 . 一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤： 二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式 .