2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（浙江卷）

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（浙江卷）

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等 比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. D. [来源:]‎ ‎4.命题“ 且的否定形式是（ ）‎ A. ，且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎ ‎5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设是有限集，定义：，其中表示有限集A中的元素个数，‎ ‎ 命题①：对任意有限集，“”是“ ”的充分必要条件；‎ 命题②：对任意有限集，，‎ A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 ‎ C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 ‎ ‎7.存在函数满足，对于任意都有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）[来源:]‎ A. B. C. D. ‎ ‎[来源:]‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎9.双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．‎ 10. 已知函数，则 ，的最小值是 ．‎ 11. 函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎12.若，则 ．‎ 13. 如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．‎ 14. 若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎15.已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．[来源:]‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16.（本题满分14分）‎ 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=.‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若ABC的面积为3，求b的值。‎ ‎17.（本题满分15分）‎ 如图，在三棱柱-中，BAC=，AB=AC=2，A=4，在底面ABC的射影为BC的中点， D为的中点.‎ ‎（1）证明：D平面；‎ ‎（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.‎ ‎18.（本题满分15分）‎ 已知函数f（x）=+ax+b（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。‎ ‎（1）证明：当|a|2时，M（a，b）2;‎ ‎（2）当a，b满足M（a，b）2时，求|a|+|b|的最大值.‎ ‎[来源:]‎ ‎19.（本题满分15分）‎ 已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分15分）‎ 已知数列满足=且=-（n）‎ ‎（1）证明：1（n）；‎ ‎（2）设数列的前n项和为,证明（n）.‎ 数学（理科）试题参考答案 一、 选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。‎ ‎1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B 二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）‎ ‎9. ，. 10. ，. 11. ，，(.)‎ ‎12. 13. . 14.3 15. ，，.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。‎ ‎16. （1）由及正弦定理得 ‎，‎ ‎∴，‎ 又由，即，得 ‎，‎ 解得 ‎；‎ ‎（2）由，得 ‎，，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得 ‎，‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ 故.‎ ‎17.‎ ‎（1）设为的中点，由题意得平面，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 故平面，‎ 由，分别，的中点，得 且，从而且DE=，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ 故，‎ 又∵平面，∴平面；‎ ‎（2）作，且，连结，‎ 由，，得，‎ 由，，得，‎ 由，得，因此为二面角的平面角，‎ 由，，，得 ‎，，‎ 由余弦定理得，.‎ 方法二 以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示。‎ ‎（0,0，）B（0，，0）D（-，0，），（-，、）‎ ‎ =（0，，-）=（-，-，） =（0，，0）‎ 设平面BD的法向量为m=（x1，y1，z1），平面BD的法向量为n=（x2，y2，z2）‎ 由{m·=0 即{ y1 - z1 =0‎ ‎ m·=0 - x1 - y1+ z1 =0‎ 可取 m=（0，，1）‎ 由{n·=0 即{ y2 =0‎ ‎ n·=0 - x2 - y2 +=0‎ 可取 n=（，0,1）‎ 于是==‎ 由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角的平面角的余弦值为-‎ ‎18.‎ ‎（1）由，得对称轴为直线，‎ 由，得 ‎，‎ 故在上单调，‎ ‎∴，‎ 当时，由 ‎，‎ 得，即，‎ 当时，由 ‎，‎ 得，即，‎ 综上，当时，‎ ‎；‎ ‎（2）由得 ‎，，‎ 故，，‎ 由，得 ‎，‎ 当，时，，且在上的最大值为 ‎，即，‎ ‎∴的最大值为..‎ ‎.19.‎ （1） 由题意知，可设直线AB的方程为，‎ （1） 由，‎ 消去，得，‎ ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴，①，‎ 将AB中点代入直线方程解得 ‎，②。‎ 由①②得或；‎ （2） 令，则 ‎，‎ 且O到直线AB的距离为，‎ 设的面积为，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故面积的最大值为.‎ ‎20.‎ ‎（1）由题意得，，即，，‎ 由 得，‎ 由得，‎ ‎，‎ 即；‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∴①，‎ 由和得，，‎ ‎∴，因此②，‎ 由①②得 ‎.‎