2012年四川省高考数学试卷（文科）

2012年四川省高考数学试卷（文科）

‎2012年四川省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（　　）‎ A．{b} B．{b，c，d} C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}‎ ‎2．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是（　　）‎ A．21 B．28 C．35 D．42‎ ‎3．（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．101 B．808 C．1212 D．2012‎ ‎4．（5分）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）下列命题正确的是（　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）‎ A．且 B． C． D．‎ ‎8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（　　）‎ A．12 B．26 C．28 D．33‎ ‎9．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎10．（5分）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）‎ A．28条 B．32条 C．36条 D．48条 ‎12．（5分）设函数f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（　　）‎ A．0 B．7 C．14 D．21‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）‎ ‎13．（4分）函数的定义域是　　．（用区间表示）‎ ‎14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　　．‎ ‎15．（4分）椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎16．（4分）设a，b为正实数，现有下列命题：‎ ‎①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；‎ ‎②若，则a﹣b＜1；‎ ‎③若，则|a﹣b|＜1；‎ ‎④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．‎ 其中的真命题有　　．（写出所有真命题的编号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；‎ ‎（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；‎ ‎（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．‎ ‎（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ ‎21．（12分）如图，动点M与两定点A（﹣1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．‎ ‎22．（14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．‎ ‎（Ⅰ）用a和n表示f（n）；‎ ‎（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2012年四川省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•四川）设集合A={a，b}，B={b，c，d}，则A∪B=（　　）‎ A．{b} B．{b，c，d} C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}‎ ‎【分析】由题意，集合A={a，b}，B={b，c，d}，由并运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确选项．‎ ‎【解答】解：由题意A={a，b}，B={b，c，d}，‎ ‎∴A∪B={a，b，c，d}‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（　　）‎ A．21 B．28 C．35 D．42‎ ‎【分析】由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项 ‎【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是=21‎ 故选A ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•四川）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．101 B．808 C．1212 D．2012‎ ‎【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．‎ ‎【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12‎ ‎∴每个个体被抽到的概率为=‎ 样本容量为12+21+25+43=101‎ ‎∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=ax﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；‎ 法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．‎ ‎【解答】解：法一：利用余弦定理 在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，‎ 由余弦定理得cos∠CED=，‎ ‎∴sin∠CED==．‎ 故选B．‎ 法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，‎ 由正弦定理得，即．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•四川）下列命题正确的是（　　）‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．‎ ‎【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；‎ B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；‎ C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；‎ D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）‎ A．且 B． C． D．‎ ‎【分析】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 ‎【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，A选项和C选项中和可能反向，B选项不符合λ＞0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（　　）‎ A．12 B．26 C．28 D．33‎ ‎【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+4y的最大值．‎ ‎【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，‎ 作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大 由可得C（4，4），此时z=28‎ 故选C ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．‎ ‎【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）‎ ‎∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，‎ ‎∴2+=3‎ ‎∴p=2‎ ‎∴抛物线方程为y2=4x ‎∵M（2，y0）‎ ‎∴‎ ‎∴|OM|=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由法一：利用三面角公式，转化求解圆心角，然后求解球面距离．‎ 另解：题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．‎ ‎【解答】解：法一：作AM⊥OB于M，MN⊥OP于N，连AN，‎ 记角∠AOM、∠MON、∠AON分别为x、y、z，‎ 则 cosx=，cosy=，cosz==cosx cosy 由题意 x=45° y=60°，∴cosz==，‎ 故 A与P球面距离为：R arccos．‎ 故选：A．‎ 另解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，‎ 因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BO的中点，AE==，‎ AP==，‎ AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，‎ cos∠AOP=，∠AOP=arccos，‎ A、P两点间的球面距离为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）‎ A．28条 B．32条 C．36条 D．48条 ‎【分析】方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，然后进行排列．‎ ‎【解答】解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，‎ 先排a，b，有种，c有种，所以表示抛物线的曲线共有，又因为当b=±2时，b2都等于4，所以重复的抛物线有种，所以不同的抛物线有﹣=32条．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=（　　）‎ A．0 B．7 C．14 D．21‎ ‎【分析】根据f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，可得f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，构造函数g（x）=f（x）﹣2，从而g（x）关于（3，0）对称，利用f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，可得g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，从而g（a4‎ ‎）为g（x）与x轴的交点，由此可求a1+a2+…+a7的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）3+x﹣1，∴f（x）﹣2=（x﹣3）3+x﹣3，‎ 令g（x）=f（x）﹣2‎ ‎∴g（x）关于（3，0）对称 ‎∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14‎ ‎∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0‎ ‎∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0‎ ‎∴g（a4）为g（x）与x轴的交点 因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3‎ ‎∴a1+a2+…+a7=7a4=21，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）‎ ‎13．（4分）（2012•四川）函数的定义域是　（﹣∞，）　．（用区间表示）‎ ‎【分析】结合函数的表达式可得不等式1﹣2x＞0的解集即为所求．‎ ‎【解答】解：∵1﹣2x＞0‎ ‎∴x＜‎ ‎∴函数的定义域为（﹣∞，）‎ 故答案为（﹣∞，）‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是　90°　．‎ ‎【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，‎ 则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）‎ ‎•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，‎ 故答案为：90°．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2012•四川）椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．‎ ‎【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：‎ 由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；‎ ‎∵AE+BE≥AB；‎ ‎∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；‎ ‎∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；‎ ‎∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；‎ ‎∴e===．‎ 故答案：．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：‎ ‎①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；‎ ‎②若，则a﹣b＜1；‎ ‎③若，则|a﹣b|＜1；‎ ‎④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．‎ 其中的真命题有　①④　．（写出所有真命题的编号）‎ ‎【分析】①将a2﹣b2=1，分解变形为（a+1）（a﹣1）=b2，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞‎ b，去掉绝对值，将a3﹣b3=1分解变形为（a﹣1）（a2+1+a）=b3，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题④正确．‎ ‎【解答】解：①若a2﹣b2=1，则a2﹣1=b2，即（a+1）（a﹣1）=b2，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b＜a+1，即a﹣b＜1，①正确；‎ ‎②若，可取a=7，b=，则a﹣b＞1，∴②错误；‎ ‎③若，则可取a=9，b=4，而|a﹣b|=5＞1，∴③错误；‎ ‎④由|a3﹣b3|=1，‎ 若a＞b＞0，则a3﹣b3=1，即（a﹣1）（a2+a+1）=b3，∵a2+1+a＞b2，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1‎ 若0＜a＜b，则b3﹣a3=1，即（b﹣1）（b2+1+b）=a3，∵b2+1+b＞a2，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1‎ ‎∴|a﹣b|＜1，∴④正确．‎ 故答案为①④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；‎ ‎（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；‎ ‎（Ⅱ）利用相互独立事件的概率公式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则 ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么 P（D）==．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•四川）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；‎ ‎（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；‎ ‎（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣‎ ‎=（1+cosx）﹣sinx﹣‎ ‎=cos（x+）．‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，‎ ‎∴cos（α+）=，‎ ‎∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）‎ ‎=1﹣2‎ ‎=1﹣‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．‎ ‎（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．‎ ‎【分析】解法一（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．设AB中点为D，连接PD，CD．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量夹角求解．‎ 解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．‎ ‎（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．‎ ‎【解答】解法一 ‎（Ⅰ）连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角． ‎ 设AB中点为D，连接PD，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，‎ 因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，‎ 不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．‎ 所以CD=2，OC===‎ 在RT△OCP中，tan∠OCP===．‎ 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．则=（1，0，），=（2，2，0）．‎ 设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．‎ 解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，‎ 所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．‎ 如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，‎ CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，‎ ‎）为平面ABC的一个法向量．‎ 设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．‎ 设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，‎ 取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．‎ 而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．‎ 故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•四川）已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ ‎【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求 ‎（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 ‎【解答】解（I）当n=1时，‎ ‎∴a1（λa1﹣2）=0‎ 若取a1=0，则Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0‎ ‎∴an=0（n≥1）‎ 若a1≠0，则，当n≥2时，2an=，‎ 两式相减可得，2an﹣2an﹣1=an ‎∴an=2an﹣1，从而可得数列{an}是等比数列 ‎∴an=a1•2n﹣1==‎ 综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，‎ ‎（II）当a1＞0且λ=100时，令 由（I）可知 ‎∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2‎ ‎∴b1＞b2＞…＞b6=＞0‎ 当n≥7时，‎ ‎∴数列的前6项和最大 ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•四川）如图，动点M与两定点A（﹣1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用，即可确定的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则kMA=，kMB=‎ ‎∵直线MA、MB的斜率之积为4，‎ ‎∴‎ ‎∴4x2﹣y2﹣4=0‎ 又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1‎ 综上点M的轨迹方程为4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）‎ ‎（Ⅱ）直线y=x+m与4x2﹣y2﹣4=0（x≠±1）联立，消元可得3x2﹣2mx﹣m2﹣4=0①‎ ‎∴△=16m2+48＞0‎ 当1或﹣1是方程①的根时，m的值为1或﹣1，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1‎ 设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），‎ ‎∵|PQ|＜|PR|，∴xR=，xQ=，‎ ‎∴==‎ ‎∵m＞0且m≠1‎ ‎∴，且≠4‎ ‎∴，且 ‎∴的取值范围是（1，）∪（，3）‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．‎ ‎（Ⅰ）用a和n表示f（n）；‎ ‎（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n+1，即知，an≥2n+1对所有n成立，当a=3，n≥1时，an=3n=（1+2）n≥1+=2n+1，当n=0时，an=2n+1，由此可得a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，证明当0＜x＜1时，，即可证明：＞．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）‎ 对求导得y′=﹣2x ‎∴抛物线在点A处的切线方程为，∴‎ ‎∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=an；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n+1‎ 即知，an≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=1得到a≥3‎ 当a=3，n≥1时，an=3n=（1+2）n≥1+=2n+1‎ 当n=0时，an=2n+1‎ ‎∴a=3时，对所有n都有成立 ‎∴a的最小值为3；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，下面证明：＞‎ 首先证明：当0＜x＜1时，‎ 设函数g（x）=6x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=18x（x﹣）‎ 当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0‎ 故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=＞0‎ ‎∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，∴‎ 由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，‎ 从而=‎ ‎＞6（a+a2+…+an）==‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；minqi5；caoqz；xize；邢新丽；刘长柏；qiss；蔡华侨；zwx097；庞会丽；wfy814；吕静（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日