人教A版选修1-11-4-1生活中的优化问题举例（2）（含答案）
§1．4．2 生活中的优化问题举例 （2）
【学情分析】：
在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】：
1． 掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能
力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教法、学法设计】：
练---讲---练.
【教学过程设计】：
教学环
节 教学活动 设计
意图
(1)复
习引
入：
1、 建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键
2、 要注意不能漏掉函数的定义域
为课
题作
铺
垫.
(2)典
型例题
讲解
例 1、用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一
边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为 x m,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m
则 3.2 – 2x > 0 , x>0 , 得 0
0 , 当 10,
故当 x =1000 时, y 取得最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.
(2)利润函数为
2 2
500 25000 200 300 2500040 40
x xL x x x
,
2
300 25000 30040 20
x xL x
.
令 0L ,解得 6000x .
当在 6000x 附近左侧时, L >0;在 6000x 附近右侧时, L <0.
故当 6000x 时,L 取得极大值.由于函数只有一个使 0L 的点,且函数在该点有极大值,
那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应生产 6000 件产品.
提高
提高
问题
的综
合
性，
锻炼
学生
能
力。
(6)课
堂小结
1、 让学生自己总结生活中的最优化问题的设计背景主要有：立体几何、解析几何、三角函数等。
2、 自变量的引入不是固定的，要注意引入自变量的技巧。
(7)作业布置:教科书 P104 A 组 4,5,6。
(8 备用题目：
1、用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，
然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为
（ B ）
A 6cm B 8cm C 16cm D 12cm
3、做一个容积为 3256m 底面为正方形的无盖长方体水箱，它的高为 4 m 时，最省料。
4、某公司规定：对于小于或等于 150 件的订购合同，每件售价为 280 元，对于多于 150 的订购合同，
每超过一件，则每件售价比原来减少 1 元，当公司的收益最大时订购件数为 215 。
5、某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间
的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各
种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
(180 10 )(50 ) (50 ) 20W x x x 21 0 3 4 0 8 0 0 0x x
其中 0,50x '( ) 0, 17W x x 令 求得
'( ) 0 , 17W x x 当 时 '( ) 0 , 17W x x ；当 时 17x W 当 ，利润 最大
180 10 17 350 此时房价为： （元）
6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时 10km,燃料费是每小时 6
元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行 1km 的费用总
和最小?
解:设船速为 x ( x >0), 航行 1km 的费用总和为 y ,设每小时燃料费为 1y 则
3 3
1 1 1
3 3, 10 6 500 500y kx x y k y x 时
3 23 1 3 9696500 500y x xx x
. （其中 0x ）； 2
6 96
500y x x
.
令 0y ,解得 20x .
当 0 20 , 0 ; 20 , 0 ;x y x y 时 此时函数为减函数 当 时 此时函数为增函数
20x 66时函数有最小值为25 ，即以每小时 20 公里的速度航行时，航行 1km 的费用总和最小。