2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（六）立体几何中的计算

2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（六）立体几何中的计算

课时达标训练(六) 立体几何中的计算 A组 ‎1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________．‎ 解析：由题意，得圆锥的母线长l＝＝，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×＝π.‎ 答案：π ‎2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为________cm3.‎ 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝×22×6×6＝36(cm3)．‎ 答案：36 ‎3．(2019·扬州中学模拟)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ 解析：如图，连接OA，OB.‎ 由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.‎ 由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.‎ 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，‎ ‎∴三棱锥S ABC的体积 V＝×·OA＝，‎ 即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.‎ 答案：36π ‎4．(2019·南京四校联考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点E是棱BB1上一点(异于端点)，则三棱锥A1AEC的体积为________．‎ 解析：由题意知，在正三角形ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×22＝.连接BA1，由等体积法知，VA1AEC＝VEAA1C＝VBA1AC＝VA1ABC＝×AA1×S△ABC＝.‎ 答案： ‎5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________．‎ 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由··l2＝3π，得l＝3，又由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝＝2，所以V＝·πr2·h＝π.‎ 答案：π ‎6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.‎ 解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面高为5 cm，则正四棱锥的高为 ＝4(cm)，所以所求容积V＝×62×4＝48(cm3)．　‎ 答案：48‎ ‎7．(2019·苏锡常镇四市一模)已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．‎ 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由圆柱的轴截面的对角线长为2知，4r2＋h2＝4.圆柱的侧面积S＝2πrh≤π×＝2π，当且仅当2r＝h时取等号，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.‎ 答案：2π ‎8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．‎ 解析：由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝，即＝，得a＝r，从而＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．‎ 解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体PAEF＝V四面体APEF＝·S△PEF·AP＝××1×1×2＝.‎ 答案： ‎10．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．‎ 答案：3‎ ‎11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．‎ 解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．‎ 因为A1C1＝6，A1B＝2，BC1＝2，所以A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝90°.‎ 又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6××＝50，所以A1C＝5，即CP＋PA1的最小值是5.‎ 答案：5 ‎12．(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．‎ 解析：设所得新长方体的高为h，根据题意，得所以h＝＝＝≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号，故所得新长方体高的最大值为.‎ 答案： ‎13．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．‎ 解析：如图，设底面半径为r，由题意可得：母线长为r.又侧面展开图面积为×r×2πr＝4π，所以r＝2.又截面三角形ABD为等边三角形，故BD＝AB＝r，又OB＝OD＝r，故△BOD为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d，又VOABD＝VABOD，所以d×S△ABD＝AO×S△OBD.又S△ABD＝AB2＝×8＝2，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝＝.‎ 答案： ‎14. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm3.‎ 解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为，所以注水高为1＋.故应注水体积为π－4×π×＝π(cm3)．‎ 答案：π B组 ‎1．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.‎ 解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，‎ 故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．‎ 又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，‎ 所以模型的体积为 V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，‎ 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．‎ 答案：118.8‎ ‎2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．‎ 解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝＝，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.‎ 答案：30π ‎3.(2019·启东中学模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为________cm.‎ 解析：法一：如图，过点S作SM⊥平面ABCD，垂足为M，连接AM，由题意，可知SM＝10 cm，AM＝10 cm，易发现点M到每条棱的距离均为10 cm，所以点M即球心，球半径为10 cm.‎ 法二：在四棱锥SABCD中，所有棱长均为20 cm，‎ 连接AC，BD交于点O，连接SO，‎ 则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，‎ 易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，‎ 在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 cm，SA＝20 cm，‎ 所以O到SA的距离d＝10 cm，‎ 同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，‎ 所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，‎ 所以皮球的半径r＝10 cm.‎ 答案：10‎ ‎4．(2019·河南模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．‎ 解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.‎ 连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.‎ ‎∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，‎ ‎∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝，‎ PG∥CD，AF∥D1G.‎ 由题意易知CD∥C1D1，‎ ‎∴PG∥C1D1，‎ ‎∴四边形C1D1GP为平行四边形，‎ ‎∴PC1∥D1G，‎ ‎∴PC1∥AF，‎ ‎∴A，P，C1，F四点共面，‎ ‎∴四边形APC1F为菱形．‎ ‎∵AC1＝，PF＝，‎ ‎∴截面M的面积S＝AC1·PF＝× ＝.‎ 答案： ‎5.如图所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2，若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．‎ 解析：用过AB，AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；‎ 用过AB，BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4，1，2的长方体，其表面积为28；‎ 用过AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体，其表面积为28，‎ 因此所求的长方体表面积的最小值为24.‎ 答案：24‎ ‎6.如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．‎ 解析：四边形AEFG在前、后面的正投影如图①，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；‎ 四边形AEFG在左、右面的正投影如图②，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；‎ 四边形AEFG在上、下面的正投影如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.‎ 答案：12‎