数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试（2017-04）

‎2017年岳阳县一中高二下期段考试题 数学（文科）‎ 时量：120分钟 分值：150分 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝ (　　)‎ A．{1,3,5}　　　　　　　　 B．{2,4,6}‎ C．{1,5} D．{1,6}‎ 解析：选D.本题考查集合的基本运算．∵M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，∴M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U(M∪N)＝{1,6}．‎ ‎2．已知非零向量a，b，使得|a－b|＝|a|＋|b|成立的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．a∥b B．a＋2b＝0‎ C.＝ D．a＝b 解析：选B.|a－b|＝|a|＋|b|成立，其充要条件是向量a，b共线且方向相反．当a＋2b＝0时，a＝－2b，|a－b|＝|a|＋|b|成立；反之，不成立．‎ ‎3．设x＞y＞1,0＜a＜1，则下列关系正确的是 (　　)‎ A．x－a＞y－a B．ax＜ay C．ax＜ay D．logax＞logay 解析：选C.本题考查函数的单调性及不等式的性质．对于A，－a＜0，幂函数f(x)＝x－a在(0，＋∞)上是减函数，所以x－a＜y－a，故A不正确；对于B，x＞y＞1，又a＞0，利用不等式的性质得ax＞ay，故B不正确；易知C正确；对于D，因为0＜a＜1，所以函数f(x)＝logax在(1，＋∞)上是减函数，又x＞y＞1，所以logax＜logay，故D不正确．‎ ‎4．函数f(x)＝＋的定义域为 (　　)‎ A．(－∞，2] B．(0,1)∪(1,2]‎ C．(0,2] D．(0,2)‎ 解析：选B.本题主要考查函数的定义域．f(x)＝＋是复合函数，所以定义域要满足，解得0＜x≤2且x≠1.‎ 5． 已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ‎ (　　) A. ‎ B．－ C. D．－ 解析：选D.由已知条件可得λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．因为向量λa＋b与a－2b垂直，所以(λa＋b)·(a－2b)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.‎ ‎6．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　)‎ A．－8 B．8‎ C．－8或8 D．6‎ 解析：选B.由题意知a·b＝2×5cos θ＝－6，解得cos θ＝－.由0≤θ≤π，得sin θ＝.所以|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.‎ 7. 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分 图象如图所示，则ω和φ的取值是(　　)‎ A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ ‎7.解析：选C.由题图可知＝－＝π，∴T＝4π，‎ ‎∴ω＝＝，∴f(x)＝sin，将代入可求得φ＝.‎ ‎8．设函数f(x)＝，且f(2)＝1，则f(1)＝ (　　)‎ A．8 B．6‎ C．4 D．2‎ 解析：选B.本题考查分段函数的求值．因为f(2)＝1，所以logt(22－1)＝logt3＝1，解得t＝3，所以f(1)＝2×31＝6.‎ ‎9．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2sin(A＋B)－＝0，则c＝ (　　)‎ A．4 B. C．2 D．3 解析：选B.∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，‎ ‎∴a＋b＝2，ab＝2.‎ 又2sin(A＋B)－＝0，即sin(A＋B)＝，‎ ‎∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，‎ 又C为锐角，∴cos C＝＝.‎ 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝ (a＋b)2－3ab＝6，∴c＝(负值舍去)．‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围可以是 (　　)‎ A. B. C. D. (0,2]‎ 解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．‎ 法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx＋∈，不符合题意，排除D；令ω＝⇒ωx＋∈，不符合题意，排除B，C.故选A.‎ 法二：y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，则k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，又由4k＋－＝2k－＜0，k∈Z得k＝0，所以ω∈，故选A.‎ ‎11．若x∈R，n∈N，规定：H＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如：H＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f(x)＝x·H的奇偶性为 (　　) ‎ A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 解析：选B.本题考查函数的奇偶性．由定义可知f(x)＝x·H＝x(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)＝x2(x2－1)(x2－4)，易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝x2(x2－1)(x2－4)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数但不是奇函数．‎ ‎12．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，向量a－c 与 b－c 的夹角为60°，则|c|的最大值等于 (　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：选A.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c，∠AOB＝120°，所以∠ACB＝60°，∴∠AOB＋∠ACB＝180°，∴A，O，B，C四点共圆，不妨设为圆M.‎ ‎∵＝b－a，∴2＝a2－2a·b＋b2＝3，‎ ‎∴||＝，由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径2R＝＝2，∴当||为圆M的直径时，|c|取得最大值2.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．)‎ ‎13．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan 2α＝________.‎ 解析：∵a∥b，∴3cos α－4sin α＝0，∴tan α＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ 答案： ‎14.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x＋2，那么不等式2f(x)－1＜0的解集是________．‎ 解析：本题考查了分类讨论思想，函数的奇偶性及函数的解析式．由题意知，函数y＝f(x)的定义域是R，当x＜0时，f(x)＝x＋2，则当x＞0时，－ x＜0，所以f(－x)＝－x＋2，又函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x－2，即f(x)＝，因此不等式2f(x)－1＜0等价于或或，‎ 解得x＜－或x＝0或0＜x＜，故不等式2f(x)－1＜0的解集为{x|x＜－或0≤x＜}．‎ 答案：{x|x＜－或0≤x＜}‎ ‎15．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.‎ 解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得＝，即＝，所以BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15×＝15(m)．‎ 答案：15m ‎16.已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_________.‎ ‎ 16. ． ‎ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．‎ ‎(1)求实数k，a的值；‎ ‎(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．‎ ‎17.解：(1)把A(0,1)，B(3,8)的坐标代入f(x)＝k·a－x，得，解得k＝1，a＝. …… 5分 ‎(2)g(x)是奇函数，理由如下：‎ 由(1)知f(x)＝2x，所以g(x)＝＝.‎ 函数g(x)的定义域为R，又g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，‎ 所以 g(x)是奇函数 …… 10分 18． ‎(本小题满分12分)‎ 已知三角形的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若2bcos A＝(ccos A＋acos C)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎18.解：(1)由余弦定理得cos B＝＝＝.‎ 因为B是三角形的内角，所以B＝. …… 5分 ‎(2)由正弦定理得＝＝，代入2bcos A＝(ccos A＋acos C)‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin(A＋C)．‎ ‎∴cos A＝，A∈(0，π)，A＝ 设CM＝m，则AC＝2m.‎ 在△ACM中，7＝4m2＋m2＋2m2，‎ ‎∴m2＝1，m＝1，m＝－1(舍去)，‎ ‎∴AC＝BC＝2‎ ‎∴S△ABC＝CA·CB·sinπ＝×2×2×＝. …… 12分 19. ‎(本小题满分12分)‎ 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n), 函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2)．‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ ‎19.解：(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，‎ 所以 即解得 …… 6分 ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋)．‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，‎ 由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．‎ 将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝，‎ 因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得 kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z. …… 12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知二次函数满足条件，‎ 且方程有两相等实根 . ‎ ‎（1）求 ‎（2）是否存在实数，使得函数在定义域为时，值域为。如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由 ‎20．（1）解：由题意得 ………………4分 解得 ………………6分 ‎（2），对称轴为x=1,最大值为…………8分 函数在定义域为时值域为 ‎……………………10分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α

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