【数学】2019届一轮复习人教A版理第7章第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直教案

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【数学】2019届一轮复习人教A版理第7章第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直教案

第七节 立体几何中的向量方法 [考纲传真] (教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用 向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线 和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几 何问题中的应用. (对应学生用书第 120 页) [基础知识填充] 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行 或重合,则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2直线 l1,l2 的方向向量 分别为 n1,n2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 l∥α n⊥m⇔n·m=0直线 l 的方向向量为 n, 平面 α 的法向量为 m l⊥α n∥m⇔n=λm α∥β n∥m⇔n=λm平面 α,β 的法向量分 别为 n,m α⊥β n⊥m⇔n·m=0 3.异面直线所成的角 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2 的方向向量,则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角〈a,b〉 范围 0<θ≤π 2 0<〈a,b〉<π 关系 cos θ=|cos〈a,b〉|=|a·b| |a||b| cos〈a,b〉= a·b |a||b| 4.直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的角 为 θ,则 sin θ=|cos〈a,n〉|=|a·n| |a||n|. 5.二面角 (1)如图 7­7­1①,AB,CD 是二面角 α­l­β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则 二面角的大小 θ=〈AB → ,CD → 〉. 图 7­7­1 (2)如图 7­7­1②③,n1,n2 分别是二面角 α­l­β 的两个半平面 α,β 的法向量, 则二面角的大小 θ 满足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(  ) (2)若两平面的法向量平行,则两平面平行或重合.(  ) (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(  ) (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.(  ) (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(  ) (6)两异面直线夹角的范围是(0,π 2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二 面角的范围是[0,π].(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 2.(教材改编)设 u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面 α,β 的法向 量.若 α⊥β,则 t=(  ) A.3   B.4    C.5    D.6 C [∵α⊥β,则 u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0, ∴t=5.] 3.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面 ABC 法向量的是(  ) A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.(- 3 3 ,- 3 3 ,- 3 3 ) D.( 3 3 , 3 3 ,- 3 3 ) C [设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的法向量, 则Error!化简得Error! ∴x=y=z.故选 C.] 4.直三棱柱 ABC­A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中 点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(  ) A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 C [建立如图所示的空间直角坐标系 C­xyz,设 BC=2,则 B(0,2,0), A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM → =(1,-1,2),AN → =(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ= |BM → ·AN → | |BM → |·|AN → | = 3 6 × 5 = 30 10 .] 5.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________. 45° [如图,建立空间直角坐标系,设 AB=PA=1,则 A(0,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),由题意,AD⊥平面 PAB,设 E 为 PD 的中点,连接 AE,则 AE⊥PD, 又 CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥AE,从而 AE⊥平面 PCD. ∴AD → =(0,1,0),AE → =(0,1 2 ,1 2)分别是平面 PAB,平面 PCD 的法向量,且 〈AD → ,AE → 〉=45°. 故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45°.] 第 1 课时 利用空间向量证明平行与垂直 (对应学生用书第 121 页) 利用空间向量证明平行问题  (2017·天津高考节选)如图 7­7­2,在三棱锥 P­ABC 中,PA⊥底面 ABC, ∠BAC=90°.点 D,E,N 分别为棱 PA,PC,BC 的中点,M 是线段 AD 的中点, PA=AC=4,AB=2. 图 7­7­2 求证:MN∥平面 BDE. [解] 如图,以 A 为原点,分别以AB → ,AC → ,AP → 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4), D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). 证明:DE → =(0,2,0),DB → =(2,0,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的一个法向量, 则Error! 即Error!不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1). 又MN → =(1,2,-1), 可得MN → ·n=0. 因为 MN⊄平面 BDE,所以 MN∥平面 BDE. [规律方法] (1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是 运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为 零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向 量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何 的证明问题转化为向量运算. [跟踪训练] 如图 7­7­3 所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形, △PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E,F,G 分别是线段 PA,PD,CD 的 中点.求证:PB∥平面 EFG. 图 7­7­3 [证明] ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形, 且 PA=AD, ∴AB,AP,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系 A­xyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),G(1,2,0). ∴PB → =(2,0,-2),FE → =(0,-1,0),FG → =(1,1,-1), 设PB → =sFE → +tFG → , 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), ∴Error!解得 s=t=2, ∴PB → =2FE → +2FG → , 又∵FE → 与FG → 不共线, ∴PB → ,FE → 与FG → 共面. ∵PB⊄平面 EFG,∴PB∥平面 EFG. 利用空间向量证明垂直问题  (2017·开封模拟)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB. 图 7­7­4 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 【导学号:97190251】 [证明] 设 AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a). 所以BE → =(a, 3a,a),BC → =(2a,0,-a),CD → =(-a, 3a,0),ED → =(0,0, -2a). 设平面 BCE 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 由 n1·BE → =0,n1·BC → =0 可得 Error! 即Error! 令 z1=2,可得 n1=(1,- 3,2). 设平面 CDE 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由 n2·CD → =0,n2·ED → =0 可得 Error! 即Error! 令 y2=1,可得 n2=( 3,1,0). 因为 n1·n2=1× 3+1×(- 3)=0. 所以 n1⊥n2, 所以平面 BCE⊥平面 CDE. 若本例中条件不变,点 F 是 CE 的中点,证明 DF⊥平面 BCE. [证明] 由例 2 知 C(2a,0,0),E(a, 3a,2a),平面 BCE 的法向量 n1=(1,- 3,2). ∵点 F 是 CE 的中点,∴F(3a 2 , 3a 2 ,a), ∴DF → =(a 2 ,- 3a 2 ,a) ∴DF → =a 2n1,∴DF → ∥n1, 故 DF⊥平面 BCE. [规律方法] 1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点 的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定 定理用向量表示. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表 示. [跟踪训练] 如图 7­7­5 所示,已知四棱锥 P­ABCD 的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD. 图 7­7­5 证明:(1)PA⊥BD; (2)平面 PAD⊥平面 PAB. [证明] (1)取 BC 的中点 O,连接 PO, ∵平面 PBC⊥底面 ABCD,△PBC 为等边三角形, ∴PO⊥底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的 直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO= 3. ∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3). ∴BD → =(-2,-1,0),PA → =(1,-2,- 3). ∵BD → ·PA → =(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(- 3)=0, ∴PA → ⊥BD → , ∴PA⊥BD. (2)取 PA 的中点 M,连接 DM,则 M(1 2 ,-1, 3 2 ). ∵DM → =(3 2 ,0, 3 2 ),PB → =(1,0,- 3), ∴DM → ·PB → =3 2 ×1+0×0+ 3 2 ×(- 3)=0, ∴DM → ⊥PB → ,即 DM⊥PB. ∵DM → ·PA → =3 2 ×1+0×(-2)+ 3 2 ×(- 3)=0, ∴DM → ⊥PA → ,即 DM⊥PA. 又∵PA∩PB=P, ∴DM⊥平面 PAB.∵DM⊂平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 PAB. 利用空间向量解决探索性问题  (2018·北京东城区综合练习(二))如图 7­7­6,在几何体 ABCDEF 中, 平面 ADE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB= 2EF,EF∥AB,M 为 BC 的中点. 图 7­7­6 (1)求证:FM∥平面 BDE; (2)求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值; (3)在棱 CF 上是否存在点 G,使 BG⊥DE?若存在,求CG CF 的值;若不存在, 请说明理由. [解] (1)证明:取 CD 的中点 N,连接 MN,FN. 因为 N,M 分别为 CD,BC 的中点, 所以 MN∥BD. 又 BD⊂平面 BDE 且 MN⊄平面 BDE, 所以 MN∥平面 BDE. 因为 EF∥AB,AB=2EF, 所以 EF∥CD,EF=DN. 所以四边形 EFND 为平行四边形,所以 FN∥ED. 又 ED⊂平面 BDE 且 FN⊄平面 BDE, 所以 FN∥平面 BDE. 又 FN∩MN=N, 所以平面 MFN∥平面 BDE. 又 FM⊂平面 MFN, 所以 FM∥平面 BDE. (2)取 AD 的中点 O,连接 EO,BO. 因为 EA=ED,所以 EO⊥AD. 因为平面 ADE⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥平面 ABCD,EO⊥BO. 因为 AD=AB,∠DAB=60°, 所以△ADB 为等边三角形. 因为 O 为 AD 的中点,所以 AD⊥BO. 因为 EO,BO,AO 两两垂直,设 AB=4,以 O 为原点,OA,OB,OE 为 x 轴、y 轴、z 轴,如图建立空间直角坐标系 O­xyz. 由 题 意 , 得 A(2,0,0) , B(0,2 3, 0) , C( - 4,2 3, 0) , D( - 2,0,0) , E(0,0,2 3),F(-1, 3,2 3). CF → =(3,- 3,2 3),DE → =(2,0,2 3), BE → =(0,-2 3,2 3). 设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z). 则Error!即Error! 令 z=1,则 y=1,x=- 3. 所以 n=(- 3,1,1). 设直线 CF 与平面 BDE 所成角为 α, sin α=|cos〈CF → ,n〉|= |CF → ·n| |CF → ||n| = 10 10 . 所以直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值为 10 10 . (3)设 G 是 CF 上一点,且CG → =λCF → ,λ∈[0,1]. 因此点 G(3λ-4,- 3λ+2 3,2 3λ). BG → =(3λ-4,- 3λ,2 3λ). 由BG → ·DE → =0,解得 λ=4 9. 所以在棱 CF 上存在点 G 使得 BG⊥DE,此时CG CF =4 9. [规律方法] 利用空间向量解决探索性问题的方法 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向 量表示出来,然后再加以证明,得出结论. (2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂 直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则 存在,否则不存在. [跟踪训练] 如图 7­7­7,在长方体 ABCD ­A 1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. 图 7­7­7 (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的长; 若不存在,说明理由. 【导学号:97190252】 [解] 以 A 为原点,AB → ,AD → ,AA1→ 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系.设 AB=a. (1)证明:A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(a 2 ,1,0),B1(a,0,1), 故AD1→ =(0,1,1),B1E → =(-a 2 ,1,-1). 因为B1E → ·AD1→ =-a 2 ×0+1×1+(-1)×1=0, 因此B1E → ⊥AD1→ , 所以 B1E⊥AD1. (2)存在满足要求的点 P, 假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP∥平面 B1AE,此时DP → =(0,-1,z0), 再设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z). AB1→ =(a,0,1),AE → =(a 2 ,1,0). 因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥AB1→ ,n⊥AE → ,得Error! 取 x=1,则 y=-a 2 ,z=-a, 则平面 B1AE 的一个法向量 n=(1,-a 2 ,-a). 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP → ,有a 2 -az0=0,解得 z0=1 2. 所以存在点 P, 满足 DP∥平面 B1AE, 此时 AP=1 2.
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