【数学】2018届一轮复习人教A版专题3数据的数字特征用样本估计总体学案
专题3 数据的数字特征 用样本估计总体
1．中心位置特征：众数、中位数、平均数．
2．标准差、方差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
其计算公式为
s＝ .
3．样本数据x1，x2，…，xn的标准差的算法
(1)算出样本数据的平均数x；(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－x(i＝1，2，…，n)；(3)算出(2)中xi－x(i＝1，2，…，n)的平方；(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差；(5)算出(4)中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
4．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2(即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
例1 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30，1.34)
4
[1.34，1.38)
25
[1.38，1.42)
30
[1.42，1.46)
29
[1.46，1.50)
10
[1.50，1.54]
2
合计
100
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
变式训练1 在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在60～70的学生有40人，则成绩在70～90的有______人．
例2 甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列正确的是( )
A.x甲>x乙；乙比甲成绩稳定
B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲
s乙，∴乙比甲稳定，用乙较合适．
变式训练3 解 设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1，2，…，20)，第二组20名学生的成绩为yi(i＝1，2，…，20)，依题意有：
＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为：
＝(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)
＝(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝(x＋x＋…＋x－202)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)，
(此处，＝90，＝80)，又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为 (＝85)，
故有s2＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋…＋y－402)
＝(20s＋20s＋202＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
所以s＝.
强化提高
1．D [本题考查的对象是80件产品的质量，故总体是80件产品的质量；个体是1件产品的质量；样本是所抽取的10件产品的质量，故样本容量是10.故选D.]
2．B [∵N＝＝M，∴M∶N＝1.]
3．B [根据所给的数据的分组和各组的频数知道，大于或等于31.5的数据有[31.5，35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5，43.5)，3，可以得到共有12＋7＋3＝22，∵本组数据共有66个，
∴大于或等于31.5的数据约占＝，故选B.]
4．A [频率等于长方形的面积，所有长方形的面积和等于1，设中间长方形的面积等于S，则S＝(1－S)，S＝，设中间一组的频数为x，则＝，得x＝32.]
5．0.1
解析 ＝＝5.1，则方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
6．30
解析 由s＝
＝ ，
即2＝ ，
得x＋x＋…＋x＝30.
7．4s2
解析 根据题意可得，因为方差公式
s2＝，
所以，s2＝＝4s2.
8．C [由茎叶图可知，甲运动员的得分大部分集中在14～18分之间，而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多，故甲篮球运动员比赛得分更稳定，甲运动员的成绩好．]
9．D [设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.]
10．60
解析 由已知，得×n＝27，即×n＝27，解得n＝60.
11．96 92 乙
解析 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在(60，80)内，乙班的成绩集中在(70，90)内，故乙班的平均成绩较高．
12．1，1，3，3
解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，
则
∴
又s＝
＝
＝＝1，
∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2，
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2，
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，
分析知x1，x2，x3，x4应为1，1，3，3.
13．解 (1)根据系统抽样的定义可知，每隔30分钟抽取一包产品，抽取的时间间隔相同，满足系统抽样的定义，
∴这种抽样方法是系统抽样．
(2)将两组数据用茎叶图表示如图：
(3)甲的平均数为(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100.
乙的平均数为(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100.
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近，乙的成绩比较分散，∴甲比乙稳定．
14．解 依题意，甲乙得分情况如下表：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
2
0
3
2
6
乙
0
5
3
5
0
因为甲得分平均数＝2.6，乙得分平均数＝2.6，甲得分的标准差≈1.96，乙得分的标准差≈2.24，所以，甲得分平均数＝乙得分平均数，甲得分的标准差<乙得分的标准差，故甲投篮的水平高．
