2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值，考查基本分析求解能力，属基本题.‎ ‎2．在中，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 则， 由正弦定理，得，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎3．若点在角的终边上，且，则（ ）‎ A．4 B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据任意角三角函数的定义构造方程即可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ ‎ ‎ 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎4．下列结论正确的是　　‎ A．若向量，共线，则向量，的方向相同 B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上 C．中，D是BC中点，则 D．若，则使 ‎【答案】C ‎【解析】根据向量共线的定义，可知错误；选项忽略了零向量的情况，所以错误；选项可通过向量加法运算得到，所以正确.‎ ‎【详解】‎ 选项：共线，则向量的方向相同或相反，可知错误；‎ 选项：和共线即，则未必在同一条直线上，可知错误；‎ 选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得，可知正确；‎ 选项：若为非零向量，为零向量，则，此时不存在，使得，可知错误.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量线性运算、向量共线的定义和性质等，属于基础题.‎ ‎5．已知，则的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化为利用二次函数求值域即可 ‎【详解】‎ 因为，所以，由，得 ，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 ‎6． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两角和差的正切公式配凑出，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差的正切公式化简求值，是对公式的简单运用，属于基础题.‎ ‎7．先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的，然后将其图象沿轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同，则的表达式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一：由题意变化后函数解析式为,得令，求得，即可求解；法二：由三角函数图象的平移和伸缩变换得变换前的解析式 ‎【详解】‎ 解法一：‎ ‎，即，‎ 所以令则，∴，即. ‎ 解法二： ‎ 据题意，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的平移和伸缩变换，熟记平移和伸缩变化原则是解题关键，是中档题 ‎8．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.‎ ‎9．函数的图象与函数的图象的交点个数是( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.‎ ‎【详解】‎ 依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎10．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二倍角公式求得，再利用诱导公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.‎ ‎11．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将整理为，根据方程可知或；根据整体所处的范围，可知有四个根需，解不等式求得取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则 或 ‎ ‎ 在上有四个实数根 ‎ 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程根的个数求解参数的取值范围的问题，关键是能够根据图象的特点，确定有四个实数根时角所处的范围，从而构造出不等关系求得结果.‎ ‎12．已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、（ ）‎ A．都是钝角 B．至少有两个钝角 C．恰有两个钝角 D．至多有两个钝角 ‎【答案】B ‎【解析】根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵λ1λ2λ3，‎ ‎∴，两边同时点乘，得 ‎•，‎ 即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，‎ ‎∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，‎ 同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，‎ 因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题 二、填空题 ‎13．_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式将所求式子变换成符合两角和差正弦公式的形式，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简、两角和差正弦公式的应用问题，属于基础题.‎ ‎14．已知向量，，若向量与共线，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可求出，根据向量23与共线即可得出2m+2（6+3m）＝0，解出m即可．‎ ‎【详解】‎ 解：；‎ ‎∵与共线；‎ ‎∴2m+2（6+3m）＝0；‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．‎ ‎15．已知中，三边与面积的关系为，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形面积公式可求解出，根据同角三角函数关系可求得.‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够通过三角形面积公式构造出三角形边角之间的关系，属于基础题.‎ ‎16．函数若 对恒成立，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则， ‎ ‎ ，‎ 即对恒成立，‎ 因为是R上的奇函数，也是增函数，‎ 所以 即，‎ 令，则，求其最大值可得，所以，‎ 故填.‎ 点睛：本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性，函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.‎ 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中, 已知点,,‎ ‎(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)在中,设是边上的高线, 求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）和（2）（一1，2）‎ ‎【解析】（1）由题意求得 ，利用向量的模的运算公式，即可求解.‎ ‎（2）设，根据共线向量，求得 ，进而利用，求得 ‎，即可得出点D的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得，，则 ，‎ 所以，‎ 即两条对角线的长为和 .‎ ‎（2）设点的坐标为，由点在上，设，‎ 则，∴，即 ‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴，即，解得，‎ 即点D的坐标为（-1，2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及共线向量与向量模的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，以及共线向量的表示是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18．（Ⅰ）已知为第二象限，化简；‎ ‎（Ⅱ）化简.‎ ‎【答案】（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式=-1‎ ‎【解析】（Ⅰ）由为第二象限，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．‎ ‎（Ⅱ）通过切化弦，通分以及两角差的正弦函数化简，然后利用诱导公式以及二倍角公式化简，可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查三角函数的恒等变形，诱导公式、两角差的三角函数等基本知识的灵活运用，注意公式的正确应用，考查计算能力．‎ ‎19．某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这100份数学试卷成绩的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率．‎ ‎【答案】（1）100； （2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的众数和中位数． ‎ ‎（Ⅱ）总分在[55，65]共有0.002×10×100=2（份），记为A，B，总分在[135，145]的试券共有0.004×10×100=4（份），记为a，b，c，d，利用列举法能求出抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图得这100份数学试卷成绩的众数为：=100，‎ 记这100份数学试卷成绩的中位数为x，‎ 则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+（x-95）×0.024=0.5，‎ 解得x=100，‎ ‎∴众数为100，中位数为100．‎ ‎（Ⅱ）总分在[55，65]共有0.002×10×100=2（份），记为A，B，‎ 总分在[135，145]的试券共有0.004×10×100=4（份），记为a，b，c，d，‎ 则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：‎ ‎{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，‎ ‎{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共15个，‎ 相差超过10分的有8种，分别为：‎ ‎{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，d}，{B，c}，{B，d}，‎ ‎∴抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率p=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20．在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积，且，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用余弦定理正弦定理对化简即得. （Ⅱ）先化简得到,再利用余弦定理求得，再求b+c的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎， ，‎ 由正弦定理得，‎ 即 ，‎ ‎ ， ,‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）,,‎ ‎,‎ ‎,, 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若函数，判断的值域；‎ ‎（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）为非奇非偶函数；值域为；（2）‎ ‎【解析】（1）根据定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数；利用分离常数的方式可知，根据的范围求得，从而得到的值域；（2）将问题转化为有实根；构造，根据复合函数单调性求得单调性，根据单调性求得的值域，进而得到的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得定义域为：‎ 因此定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数 有题意知：‎ 当时，‎ 所以 所以函数的值域为 ‎（2）方程有实根，即有实根 构造函数 则 因为函数在上单调递减，而在上单调递增 所以复合函数是上的单调递减函数 所以在上最小值为，最大值为 即，所以当时，方程有实根 ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题，通过求解值域得到结果.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若函数在的最大值为2，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)或 ‎【解析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得，从而可得最小正周期；（2）将通过换元的方式变为，；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 最小正周期 ‎（2）‎ 令，则 由得 ‎ ‎①当，即时 当时，‎ 由，解得（舍去)‎ ‎②当，即时 当时，‎ 由得，解得或（舍去）‎ ‎③当，即时 当时，，由，解得 综上，或 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.‎