四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 2021届高三上学期11月月考理科数学试题

四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 2021届高三上学期11月月考理科数学试题

数学（理科）“11月月考”考试题 第 1 页 共 12 页 四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试 (2021届）2018级高三上学期 11月月考理科数学试题 一、单选题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合   3|A x y lg x   ， 2{ | 6 8 0}B x x x    ，则 A B  （ ） A． | 2 3x x  B． | 2 3x x  C． | 2 4}x x  D． | 3 4x x  2．已知复数 z满足 (1 ) 2z i i  ，则复数 z在复平面内对应的点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“直线 l与平面 内无数条直线垂直”是“直线 l与平面 垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 4．已知等差数列 na 、 nb ，其前 n项和分别为 nS 、 nT ， 2 3 3 1 n n a n b n    ，则 11 11 S T （ ） A． 15 17 B． 25 32 C．1 D． 2 5．若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2  （ ） A． 64 25 B． 48 25 C．1 D． 16 25 6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A． 2 3 B． 4 3 C．2 D．4 7．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后 第七位.利用随机模 拟的方法也可以估计圆周率的值，如右图程序框图中 rand( )表示产生区间[ ]0,1 上的随机数，则由此可估计 的近 似值为（ ） A．0.001n B.0.002n C.0.003n D．0.004n 8. 2020年 2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业 生产口罩，下表为某小型工厂 2-5月份生产的口罩数（单位：万） 数学（理科）“11月月考”考试题 第 2 页 共 12 页 月份 x 2 3 4 5 口罩数 y 4.5 4 3 2.5 口罩数 y与月份 x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是  0.7y x a   ，则 a的值为（ ） A．6.1 B．5.8 C．5.95 D．6.75 9．若变量 x， y满足约束条件 2 , 1, 1 y x x y x       ，则的 1 1 yz x    取值范围是（ ） A． 1 1, , 2 2             B． 1 3, 2 2      C． 1 1, 2 2     D． 1 3, , 2 2           10．设  f x 是定义在 R上的偶函数，对任意的 xR，都有    2 2f x f x   ，且当  2,0x  时，   1 1 2 x f x       ，若关于 x的方程    log 2 0( 1)af x x a    在区间  2,6 内恰有三个不同实根，则实数 a的 取值范围是（ ） A．  4 43, 8 B．  3 4,2 C．  4 3,2 D．  3 4,2 11．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 2F 作一条直线与双曲线右支交于 A B， 两 点，坐标原点为O，若 1 5OA c BF a，  ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 15 2 B． 10 2 C． 15 3 D． 10 3 12．若不等式 2sin 1 2cos 2 x xa x       对 (0, ]x   恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A．[1, ) B． 1 ,     C． 1 , 3    D． 1 , 3    二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卷上） 13．已知抛物线 2 4x y 上一点 A的纵坐标为 4，则点 A到抛物线焦点的距离为 数学（理科）“11月月考”考试题 第 3 页 共 12 页 14．在 6(2 ) ( 1)x x  展开式中，含 4x 的项的系数是__________ . 15．在 ABC 中，已知 2AB  ， | | | |CA CB CA CB       ， 2cos2 2sin 1 2 B CA    ，则 BA  在 BC  方向上的投 影为__________. 16.已知数列 na 的前 n项和为 nS ，直线 2 2y x  与圆 2 2 2 2nx y a   交于 nA ，  *nB n N 两点，且 21 4n n nS A B .若 2 1 2 32 3 2n na a a na a      对 *n N  成立，则实数 的取值范围是______. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知向量  BAm cos,cos ，  bcan  2, ，且 nm // ．（1）求角 A的大小；（2）若 4a ，求 ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分）某中学准备对高 2020级学生文理科倾向做摸底调查，由教务处对高一学生文科、理科进 行了问卷，问卷共 100道题，每题 1分，总分 100分。教务处随机抽取了 200名学生的问卷成绩（单位：分）进行 统计，将数据按照  0,20 ，  20,40 ，  40,60 ，  60,80 ，  80,100 分成 5组，绘制的频率分布直方图如图所示， 若将不低于 60分的称为“文科方向”学生，低于 60分的称为“理科方向”学生。 理科方向 文科方向 总计 男 110 女 50 总计 数学（理科）“11月月考”考试题 第 4 页 共 12 页 （1）根据已知条件完成下面 2 2 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？ （2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取 1人，共抽取 3次，记被抽取的 3人中“文 科方向”的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列、期望  E  和方差  D  . 参考公式：        2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    . 参考临界值：  2 0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， ,D E分别是 1,AB BB 的中点， 1 2 2 2 AA AC CB AB    . （1）证明： 1BC 平面 1ACD；（2）求二面角 1D AC E  的余弦值. 数学（理科）“11月月考”考试题 第 5 页 共 12 页 20．（本小题满分 12 分）已知 ),0(),0,( 00 yBxA 两点分别在 x轴和 y轴上运动，且 1|| AB ，若动点 ),( yxP 满足 .32 OBOAOP  （1）求出动点 P的轨迹对应曲线C的标准方程； （2）直线 1:  tyxl 与曲线C交于 BA、 两点， )0,1(E ，试问：当 t变化时，是否存在一直线 l，使 ABE 面 积为 32 ？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数 ln( ) ( )xf x a x a    R ，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处切线与直线 8 0x y   垂直. （1）试比较 20212020 与 20202021 的大小，并说明理由； （2）若函数 ( ) ( ) g x f x k有两个不同的零点 1x ， 2x ，证明： 2 1 2x x e  . 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 数学（理科）“11月月考”考试题 第 6 页 共 12 页 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C的参数方程为 2 2cos 2sin x y       ， （ 为参数），直线 l的极坐标方程为 3 2sin( ) 4 2      ．（I）求曲线 C的极坐标方程和直线 l的直角坐标方程； （Ⅱ）若 (0,1)A ，直线 l与曲线 C相交于不同的两点 M，N，求 1 1 | | | |AM AN  的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) | 2 | | 3 |f x x ax    ． （1）当 3a  时，求不等式 ( ) 6f x  的解集； （2）若 1 2 x  ，不等式 2( ) 3f x x x   恒成立，求实数 a的取值范围． 高 2018级高三（上）11月月考 数学（理科）“11月月考”考试题 第 7 页 共 12 页 （理科）数学参考答案 第Ⅰ卷 （选择题 共 60分） 一、单选题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1-5:DBBAA; 6-10:ADCCB 11-12:BD 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卷上） 13． 5 .14．____-100_____.15．_____ 3 ____.16.__ 1( , ) 2  ____. 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分 12 分） 【解析】（1） nm // ，所以   0cos2cos  AbcBa ，由正弦定理得 BAcossin   0cossinsin2  ABC ， ACABBA cossin2cossincossin    ACBA cossin2sin  ， 由  CBA ， ACC cossin2sin  ，由于 C0 ，因此 0sin C ，所以 2 1cos A ， 由于  A0 ， 3  A （6 分） （2）由余弦定理得 Abccba cos2222  bcbcbcbccb  216 22 ，因此 16bc ，当且仅当 4 cb 时，等号成立； 因此 ABC 面积 34sin 2 1  AbcS ，因此 ABC 面积的最大值 34 ．（12 分） 18.（本小题满分 12 分）解（1） 【解析】（1）由频率分布直方图可得分数在 60,80 之间的学生人数为0.0125 20 200 50  ＝ ，在 80,100 之间的 学生人数为 0.0075 20 200 30  ＝ ，所以低于 60分的学生人数为 120.因此列联表为 数学（理科）“11月月考”考试题 第 8 页 共 12 页 理科方向 文科方向 总计 男 80 30 110 女 40 50 90 总计 120 80 200 又  22 200 80 50 30 40 16.498 6.635 120 80 110 90 K           ， 所以有 99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关. （6分） （2）易知从该校高一学生中随机抽取 1人，则该人为“文科方向”的概率为 80 2 200 5 p   . 依题意知 2~ 3, 5 B       ，所以   3 3 2 2C 1 5 5 i i iP i               （ 0,1, 2,3i  ），所以 的分布列为  0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以期望   2 63 5 5 E np     ，方差     2 2 181 3 1 5 5 25 D np p            . （12分） 19．（本小题满分 12 分） 证明：证明：连接 1AC 交 1AC于点 F ，则 F 为 1AC 的中点．又D是 AB的中点， 连接DF，则 1 / /BC DF． 因为DF 平面 1ACD， 1BC  平面 1ACD， 所以 1 / /BC 平面 1ACD． （4分） 数学（理科）“11月月考”考试题 第 9 页 共 12 页 （2）由 1 2 2 2 AA AC CB AB    ，可得： 2AB  ，即 2 2 2AC BC AB  所以 AC BC 又因为 1 1 1ABC ABC 直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线 1CA CB CC、 、 为 x轴、 y轴、 z轴，建立空 间直角坐标系， 则    1 2 2 20,0,0 2,0, 2 ) , ,0 0, 2, 2 2 2 C A D E                、 、 、 ，(6分）  1 2 2 22,0, 2 , , ,0 , 0, 2, 2 2 2 CA CD CE                     设平面 1ACD的法向量为  , ,n x y z  ，则 0n CD    且 1 0n CA    ，可解得 y x z   ，令 1x  ，得平面 1ACD的 一个法向量为  1, 1, 1n    r ，（8分） 同理可得平面 1ACE的一个法向量为  2,1, 2m    ，(10分） 则 3cos , 3 n m    ，所以二面角 1D AC E  的余弦值为 3 3 .（12分 ） 20．（本小题满分 12 分） 解（1）设 (x, y)P ，因为 .32 OBOAOP  即 ),3,2(),0(3)0,(2),( 0000 yxyxyx  所以 ,3,2 00 yyxx  所以 , 3 3, 2 1 00 yyxx  又因为 1|| AB 所以 12 0 2 0  yx 即 1) 3 3() 2 1( 22  yx 即 1 34 22  yx ，所以椭圆的标准方程为 1 34 22  yx （4分） （2）由方程组       1 34 1 22 yx tyx 得 (*)09643 22  tyyt ）（ 设 ),,(),,( 2211 yxByxA 则 0 43 9, 43 6 221221      t yy t tyy （6分） 数学（理科）“11月月考”考试题 第 10 页 共 12 页 所以 43 112) 43 9(4) 43 6(4)(|| 2 2 2 2 221 2 2121        t t tt tyyyyyy （8分） 因为直线 1 tyx 过点 )0,1(F 所以 ABE 的面积 43 112 43 1122 2 1|||| 2 1 2 2 2 2 21       t t t tyyEFS ABE （10 分） 令 32 43 112 2 2    t t 则 2 2 0 3 t = - < 不成立，不存在直线 l满足题意.（12 分） 21．【详解】（1）函数 ln( ) ( )xf x a x a    R ， 2 1 ln ( ) ( ) a x xf x x a      ，所以 2 1(1) ( 1) af a    ， 又由切线与直线 8 0x y   垂直，可得  1 1f   ，即 1 1 1 a   ，解得 0a  ，（2分） 此时 2 ln 1 ln( ) ( )x xf x f x x x    ，令   0f x  ，即1 ln 0x  ，解得0 x e  ，令   0f x  ，即1 ln 0x  ， 解得 x e ，即有 ( )f x 在  0,e 上单调递增，在  ,e  单调递减（4 分） 所以 ln 2020 ln 2021(2020) (2021) 2021ln 2020 2020ln 2021 2020 2021 f f      即 2021 20202020 2021 （5 分） （2）不妨设 2 1 0x x  ， 由条件：    2 1 2 2 1 10 ln ln 0g x g x x kx x kx       ，  1 2 1 2ln lnx x k x x   ，  1 2 1 2ln lnx x k x x   要证： 2 1 2x x e  只需要证： 1 2ln ln 2x x  ，（8分） 也即为  1 2 2k x x  ，由 2 1 2 1 ln lnx xk x x    ，只需要证：  2 12 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2ln ln 2 ln x xx x x x x x x x x x        ， 设 2 1 1xt x   即证： 2( 1)ln ( 1) 1 tt t t     ，（10 分）设 2( 1)( ) ln ( 1) 1 th t t t t      ，则 2 2 2 1 4 ( 1)( ) 0 ( 1) ( 1) th t t t t t         ，  h t 在  1, 上是增函数，故 ( ) (1) 0h h   ，即  2 1 ln 1 t t t    得证，所以 2 1 2x x e  .（12分） 数学（理科）“11月月考”考试题 第 11 页 共 12 页 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 【解】（I）依题意，曲线 2 2 :( 2) 4C x y   ，故 2 2 4 0x y x   ，即 2 4 cos 0    ，即 4cos  ．（2 分） 由 3 2 4 2 sin         ，可得 2 2 2 2 2 2 sin cos       ，即 1 0sin cos      ，（3分） 将 x cos  ， y sin  代入上式，可得直线 l的直角坐标方程为 1 0x y   ．（5 分） （Ⅱ）将直线 l的参数方程 2 2 21 2 x t y t        （6 分），代入 2 2 4 0x y x   中，化简可得 2 3 2 1 0t t   ， 设M，N所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 3 2t t   ， 1 2 1t t  ，（8分） 故 1 2 1 2 1 1 | | | | 3 2 | | | | | | | | t tAM AN AM AN AM AN t t       ．（10 分） 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 【解析】（1）当 3a  时， ( ) | 2 | 3 | 1|f x x x    ，不等式 ( ) 6f x  可化为 | 2 | 3 | 1| 6x x    ．（1分） ①当 2x   时，不等式可化为 2 3 3 6x x     ，即 4 5x  ，无解； ②当 2 1x   时，不等式可化为 2 3 3 6x x    ，即 2 1x  ，解得 1 1 2 x   ；（3分） ③当 1x  时，不等式可化为 2 3 3 6x x    ，即 4 7x  ，解得 71 4 x  ， 综上，可得 1 7 2 4 x   ，故不等式 ( ) 6f x  的解集为 1 7( , ) 2 4  ．（5分） （2）当 1 2 x  时，不等式 2( ) 3f x x x   ，即 22 | 3 | 3x ax x x      ，整理得 2| 3 | 1ax x   ，即 2 21 3 1x ax x      ，即 2 22 4x ax x     ，因为 1 2 x  ，所以分离参数可得 2 4 a x x a x x          ．（8分） 显然函数 2( )g x x x    在 1[ , ) 2  上单调递减，所以 1 7( ) ( ) 2 2 g x g  ，而函数 4 4( ) 2 4h x x x x x      ，当且仅 数学（理科）“11月月考”考试题 第 12 页 共 12 页 当 4x x  ，即 2x  时取等号，所以实数 a的取值范围为 7[ , 4] 2 ．（10分）