2020届二轮复习 等比数列 课件（全国通用）

2020届二轮复习 等比数列 课件（全国通用）

第3讲　等比数列 1. 理解等差数列的概念 . 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 . 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 . 4. 了解等差数列与一次函数的关系 . 1. 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同 一常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的______，通常用字母 q 表示. 公比 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ，则它的通项 a n ＝ a 1 · q n － 1 . 3. 等比中项 若 G 2 ＝ a · b ( ab ≠ 0) ，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 4. 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： a n ＝ a m · q n － m ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 { a n } 为等比数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ， 则 a k · a l ＝ a m · a n . (4)已知等比数列{ a n }， ① 若首项 a 1 >0 ，公比 q >1 或首项 a 1 <0 ，公比 0< q <1 ，则数 列{ a n }单调递增； ② 若首项 a 1 >0 ，公比 0< q <1 或首项 a 1 <0 ，公比 q >1 ，则数 列{ a n }单调________； 递减 ③若公比 q ＝1，则数列{ a n }为常数列； ④若公比 q <0，则数列{ a n }为摆动数列. 5. 等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 { a n } 的公比为 q ( q ≠ 0) ，其前 n 项和为 S n . 当 q ＝ 1 时， S n ＝ ________ ； 6. 等比数列前 n 项和的性质 若公比不为－ 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍是等比数列 . na 1 C 1. 在等比数列 { a n } 中， a 4 ＝ 4 ，则 a 2 · a 6 ＝ ( ) A.4 C.16 B.8 D.32 2.(2017 年新课标Ⅱ ) 我国古代数学名著《算法统宗》 中有 如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八 十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的 顶层共有灯( ) B A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 解析： 设塔的顶层共有灯 x 盏，则各层的灯数构成一个首 项为 x ，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有 3.(2015 年新课标Ⅰ ) 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S n ＝ 126 ，则 n ＝ _______. 6 解析： ∵ a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ， ∴ 数列 { a n } 是首项为 2 ，公比 4.(2017 年新课标Ⅲ ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 2 ＝－ 1 ， a 1 － a 3 ＝－ 3 ，则 a 4 ＝ ______. －8 解析： 设等比数列的公比为 q ，很明显 q ≠－1， 结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： 由等比数列的通项公式，可得 a 4 ＝ a 1 q 3 ＝－ 8. 考点 1 等比数列的基本运算 例 1 ： (1) (2018 年新课标Ⅰ ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和， 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. 答案： －63 (2)(2016 年新课标Ⅰ ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 5 ，则 a 1 a 2 · … · a n 的最大值为 __________. 解析： 方法一，设等比数列 { a n } 的公比 为 q ，由 方法二，设等比数列{ a n }的公比为 q ， 所以当 n ＝ 3 或 n ＝ 4 时， a 1 a 2 · … · a n 的值最大，最大值为 2 6 ＝ 64. 答案： 64 (3)(2018 年河北石家庄模拟 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 4 ＝ 8 a 1 ， 且 a 1 ， a 2 ＋ 1 ， a 3 成等差数列，则其前 5 项和为 ( 　 　 ) A.30 B.32 C.62 D.64 解析： 由题意，得 a 1 q 3 ＝ 8 a 1 ，又 a 1 ≠ 0 ， ∴ q ＝ 2. 又 a 1 ， a 2 ＋ 1 ， a 3 成等差数列， ∴ 2( a 2 ＋ 1) ＝ a 1 ＋ a 3 ，即 2(2 a 1 ＋ 1) ＝ a 1 ＋ 4 a 1 . 解得 a 1 ＝ 2. ∴ S 5 ＝ 2 ( 1－2 5 ) ＝62.故选 C. 1－2 答案： C 答案： 32 【规律方法】 在解决等比数列问题时，已知 a 1 ， a n ， q ， n ， S n 中任意三个，可求其余两个，称为 “ 知三求二 ”. 而求得 a 1 和 q 是解决等比数列 { a n } 所有运算的基本思想和方法 . 考点 2 等比数列的基本性质及应用 例 2 ： (1) (2016 年河北衡水中学调研 ) 在等比数列 { a n } 中，若 a 4 ， a 8 是方程 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 的两根，则 a 6 的值是 ( 　　 ) 答案： C (2) 若等比数列 { a n } 的各项均为正数，且 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2e 5 ， 则 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ________. 解析： 因为 a 10 a 11 ＋ a 9 a 12 ＝ 2 a 10 a 11 ＝ 2e 5 ，所以 a 10 a 11 ＝ e 5 . 所 以 ln a 1 ＋ ln a 2 ＋ … ＋ ln a 20 ＝ ln( a 1 a 2 · … · a 20 ) ＝ ln[( a 1 a 20 )·( a 2 a 19 )· … · ( a 10 a 11 )] ＝ ln( a 10 a 11 ) 10 ＝ 10ln( a 10 a 11 ) ＝ 10ln e 5 ＝ 50ln e ＝ 50. 答案： 50 (3)已知各项都是正数的等比数列 { a n } ， S n 为其前 n 项和， 且 S 3 ＝ 10 ， S 9 ＝ 70 ，那么 S 12 ＝ ( 　　 ) A.150 B.－200 C.150 或－200 D.400 或－50 解析： 方法一，设等比数列的公比为 q ，显然 q ≠1， ∴ S 12 ＝ 15 S 3 ＝ 150. 故选 A. 方法二， ∵ S 9 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＋ ( a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ) ＋ ( a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ) ＝ S 3 ＋ q 3 S 3 ＋ q 6 S 3 ＝ S 3 (1 ＋ q 3 ＋ q 6 ) ， ∴ 10( q 6 ＋ q 3 ＋ 1) ＝ 70. ∴ q 3 ＝ 2 或－ 3( 舍去 ). ∴ S 12 ＝ S 9 ＋ q 9 S 3 ＝ 70 ＋ 80 ＝ 150. 故选 A. 方法三，由等比数列的性质，知 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 ， S 12 － S 9 是等比数列， ∴ ( S 6 － 10) 2 ＝ 10(70 － S 6 ). 解得 S 6 ＝ 30 或－ 20( 舍去 ). 又 ( S 9 － S 6 ) 2 ＝ ( S 6 － S 3 )( S 12 － S 9 ) ， 即 40 2 ＝ 20( S 12 － 70) ，解得 S 12 ＝ 150. 故选 A. 方法四，设等比数列前 n 项和为 S n ＝ A － Aq n ， 解得 q 3 ＝ 2 或－ 3( 舍去 ). ∴ A ＝－ 10. ∴ S 12 ＝－ 10(1 － 2 4 ) ＝ 150. 故选 A. 答案： A (4)(2018 年河南中原名校质量考评 ) 已知数列 { a n } 为正项等 比数列，且 a 1 a 3 ＋ 2 a 3 a 5 ＋ a 5 a 7 ＝ 4 ，则 a 2 ＋ a 6 ＝ ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案： B 【规律方法】 (1) 解决给项求项 问题，先考虑利用等比数列 的性质 “ 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m · a n ＝ a p · a q ” ， 再考虑基本量法. (2) 等比数列前 n 项和的性质：若公比不为－ 1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 仍是等比数列 . 【互动探究】 A.2015 B.2016 C.－2015 D.－2016 D 解析： lg a 1 ＋ lg a 2 ＋ … ＋ lg a 2016 ＝ lg( a 1 a 2 · … · a 2016 ) 考点 3 等差与等比数列的混合运算 例 3 ： (20 17 年新课标Ⅰ ) 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1)求{ a n }的通项公式； (2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 【互动探究】 2.(2017 年新课标Ⅱ ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等 比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 2. (1)若 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，求 { b n } 的通项公式； (2)若 T 3 ＝ 21 ，求 S 3 . 解： 设 { a n } 的公差为 d ，{ b n }的公比为 q ， 则 a n ＝－ 1 ＋ ( n － 1) d ， b n ＝ q n － 1 . 由 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 ，得 d ＋ q ＝ 3. ① (1) 由 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，得 2 d ＋ q 2 ＝ 6 ， ② 因此 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n － 1 ， n ∈ N * . (2) 由 b 1 ＝ 1 ， T 3 ＝ 21 ，得 q 2 ＋ q － 20 ＝ 0. 解得 q ＝－ 5 ， q ＝ 4. 当 q ＝－ 5 时，由 ① ，得 d ＝ 8 ，则 S 3 ＝ 21. 当 q ＝ 4 时，由 ① ，得 d ＝－ 1 ，则 S 3 ＝－ 6. 思想与方法 ⊙分类讨论思想在数列中的应用 例题： (2015 年福建 ) 若 a ， b 是函数 f ( x )＝ x 2 － px ＋ q ( p >0， q >0)的 两个不同的零点，且 a ， b ，－2 这三个数可适当排序后 成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p ＋ q 的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案： D