2018届二轮复习 不等式选讲 课件（江苏专用）

2018届二轮复习 不等式选讲 课件（江苏专用）

专题 9 　系列 4 选讲 第 42 练　不等式选讲 本部分主要考查绝对值不等式的解法 . 求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 1 2 解析答案 1 2 (2) 证明：当 a ， b ∈ M 时， | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 证明　 由 (1) 知，当 a ， b ∈ M 时，－ 1< a <1 ，－ 1< b <1 ， 从而 ( a ＋ b ) 2 － (1 ＋ ab ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － a 2 b 2 － 1 ＝ ( a 2 － 1)(1 － b 2 )<0 ， 即 ( a ＋ b ) 2 <(1 ＋ ab ) 2 ，因此 | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 1 2 解析答案 2.(2016· 课标全国丙 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； 解　 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3}. 1 2 解析答案 (2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求 a 的取值范围 . 解　 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a ＋ |1 － 2 x | ≥ |2 x － a ＋ 1 － 2 x | ＋ a ＝ |1 － a | ＋ a ， 所以当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 － a | ＋ a ≥ 3. ① 当 a ≤ 1 时， ① 等价于 1 － a ＋ a ≥ 3 ，无解 . 当 a ＞ 1 时， ① 等价于 a － 1 ＋ a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). 返回 高考 必会题型 题型一　含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)| f ( x )|> a ( a >0) ⇔ f ( x )> a 或 f ( x )< － a ； (2)| f ( x )|< a ( a >0) ⇔ － a < f ( x )< a ； (3) 对形如 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ， | x － a | ＋ | x － b | ≥ c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解 . 解析答案 例 1 　 已知函数 f ( x ) ＝ | x － a | ，其中 a ＞ 1. (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≥ 4 － | x － 4| 的解集 ； 解　 当 a ＝ 2 时， 当 x ≤ 2 时，由 f ( x ) ≥ 4 － | x － 4| 得－ 2 x ＋ 6 ≥ 4 ， 解得 x ≤ 1 ； 当 2 ＜ x ＜ 4 时， f ( x ) ≥ 4 － | x － 4| 无解； 当 x ≥ 4 时，由 f ( x ) ≥ 4 － | x － 4| 得 2 x － 6 ≥ 4 ， 解得 x ≥ 5 ； 所以 f ( x ) ≥ 4 － | x － 4| 的解集为 { x | x ≤ 1 或 x ≥ 5}. 解析答案 点评 (2) 已知关于 x 的不等式 | f (2 x ＋ a ) － 2 f ( x )| ≤ 2 的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 2} ，求 a 的值 . 解　 记 h ( x ) ＝ f (2 x ＋ a ) － 2 f ( x ) ， 又已知 | h ( x )| ≤ 2 的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 2} ， 点评 (1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 ① 求零点； ② 划区间、去绝对值号； ③ 分别解去掉绝对值的不等式； ④ 取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 . (2) 用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法 . 解析答案 变式训练 1 　 已知函数 f ( x ) ＝ | x － 2| － | x － 5|. (1) 证明：－ 3 ≤ f ( x ) ≤ 3 ； 当 2< x <5 时，－ 3<2 x － 7<3. 所以－ 3 ≤ f ( x ) ≤ 3. 解析答案 (2) 求不等式 f ( x ) ≥ x 2 － 8 x ＋ 15 的解集 . 证明　 由 (1) 可知， 当 x ≤ 2 时， f ( x ) ≥ x 2 － 8 x ＋ 15 的解集为空集； 当 x ≥ 5 时， f ( x ) ≥ x 2 － 8 x ＋ 15 的解集为 { x |5 ≤ x ≤ 6}. 题型二　不等式的证明 1. 含有绝对值的不等式的性质 | a | － | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | ＋ | b |. 2. 算术 — 几何平均不等式 定理 1 ：设 a ， b ∈ R ，则 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab . 当且仅当 a ＝ b 时，等号成立 . 解析答案 点评 证明　 因为 3| y | ＝ |3 y | ＝ |2( x ＋ y ) － (2 x － y )| ≤ 2| x ＋ y | ＋ |2 x － y | ， 解析答案 (1) 作差法应该是证明不等式的常用方法 . 作差法证明不等式的一般步骤： ① 作差； ② 分解因式； ③ 与 0 比较； ④ 结论 . 关键是代数式的变形能力 . (2) 在不等式的证明中，适当 “ 放 ”“ 缩 ” 是常用的推证技巧 . 点评 解析答案 证明　 当 | a ＋ b | ＝ 0 时，不等式显然成立 . 解析答案 题型三　柯西不等式的应用 柯西不等式 (1) 设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ≥ ( ac ＋ bd ) 2 ，当且仅当 ad ＝ bc 时等号成立 . (2) 设 a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a n ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， … ， b n 是实数 ， 则 ≥ ( a 1 b 1 ＋ a 2 b 2 ＋ … ＋ a n b n ) 2 ，当且仅当 b i ＝ 0( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 或存在一个数 k ，使得 a i ＝ kb i ( i ＝ 1,2 ， … ， n ) 时，等号成立 . 例 3 　 (2015· 福建 ) 已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ，函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － b | ＋ c 的最小值为 4. (1) 求 a ＋ b ＋ c 的值； 解析答案 解　 因为 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － b | ＋ c ≥ |( x ＋ a ) － ( x － b )| ＋ c ＝ | a ＋ b | ＋ c ， 当且仅当－ a ≤ x ≤ b 时，等号成立 . 又 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，所以 | a ＋ b | ＝ a ＋ b . 所以 f ( x ) 的最小值为 a ＋ b ＋ c . 又已知 f ( x ) 的最小值为 4 ，所以 a ＋ b ＋ c ＝ 4. 点评 解　 由 (1) 知 a ＋ b ＋ c ＝ 4 ， 解析答案 (1) 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明 . 点评 变式训练 3 　 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 2| 的最小值为 a . (1) 求 a 的值； 解析答案 解　 因为 | x ＋ 1| ＋ | x － 2| ≥ |( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， 当且仅当 － 1 ≤ x ≤ 2 时，等号成立， 所以 f ( x ) 的最小值等于 3 ，即 a ＝ 3. 返回 (2) 若 p ， q ， r 是正实数，且满足 p ＋ q ＋ r ＝ a ，求证： p 2 ＋ q 2 ＋ r 2 ≥ 3. 解析答案 证明　 由 (1) 知 p ＋ q ＋ r ＝ 3 ， 又因为 p ， q ， r 是正实数， 所以 ( p 2 ＋ q 2 ＋ r 2 )(1 2 ＋ 1 2 ＋ 1 2 ) ≥ ( p × 1 ＋ q × 1 ＋ r × 1) 2 ＝ ( p ＋ q ＋ r ) 2 ＝ 9 ， 即 p 2 ＋ q 2 ＋ r 2 ≥ 3. 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1. 如果关于 x 的不等式 | x － 3| － | x － 4|< a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 . 解　 设 y ＝ | x － 3| － | x － 4| ， 若 | x － 3| － | x － 4|< a 的解集不是空集， 则 (| x － 3| － | x － 4|) min < a . 由图象可知当 a > － 1 时，不等式的解集不是空集 . 即实数 a 的取值范围是 ( － 1 ，＋ ∞ ). 解析答案 当且仅当 x ＝ y 时等号成立 . 即实数 λ 的最小值是－ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 当 x < － 2 时， y ＝－ 3 x － 1>5 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 又因为 a ∈ N * ，所以 a ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 求函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － 2| 的最小值 . 解　 因为 | x ＋ 1| ＋ | x － 2| ≥ |( x ＋ 1) － ( x － 2)| ＝ 3 ， 当且仅当 ( x ＋ 1)( x － 2) ≤ 0 ，即－ 1 ≤ x ≤ 2 时取到等号， 所以 f ( x ) 的最小值为 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 5. 已知 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| ，不等式 f ( x )<4 的解集为 M . (1) 求 M ； 当 x < － 1 时，由－ 2 x <4 ，得－ 2< x < － 1 ； 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( x ) ＝ 2<4 恒成立； 当 x >1 时，由 2 x <4 ，得 1< x <2. ∴ 综上可得－ 2< x <2 ，即 M ＝ ( － 2,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 当 a ， b ∈ M 时，证明： 2| a ＋ b |<|4 ＋ ab |. 证明　 ∵ a ， b ∈ M ， 即－ 2< a <2 ，－ 2< b <2 ， ∴ 4( a ＋ b ) 2 － (4 ＋ ab ) 2 ＝ 4( a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ) － (16 ＋ 8 ab ＋ a 2 b 2 ) ＝ ( a 2 － 4)(4 － b 2 )<0 ， ∴ 4( a ＋ b ) 2 <(4 ＋ ab ) 2 ， ∴ 2| a ＋ b |<|4 ＋ ab |. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 6. 已知 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ 3 c 2 ＝ 6 ，若存在实数 a ， b ， c ，使得不等式 a ＋ 2 b ＋ 3 c >| x ＋ 1| 成立，求实数 x 的取值范围 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 由柯西不等式知 即 6 × ( a 2 ＋ 2 b 2 ＋ 3 c 2 ) ≥ ( a ＋ 2 b ＋ 3 c ) 2 . 又 ∵ a 2 ＋ 2 b 2 ＋ 3 c 2 ＝ 6 ， ∴ 6 × 6 ≥ ( a ＋ 2 b ＋ 3 c ) 2 ， ∴ － 6 ≤ a ＋ 2 b ＋ 3 c ≤ 6. ∵ 存在实数 a ， b ， c ，使得不等式 a ＋ 2 b ＋ 3 c >| x ＋ 1| 成立 . ∴ | x ＋ 1|<6 ， ∴ － 7< x <5. ∴ x 的取值范围是 { x | － 7< x <5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 7. 设函数 f ( x ) ＝ | x － a | ＋ 3 x ，其中 a >0. (1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x ) ≥ 3 x ＋ 2 的解集； 解　 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ≥ 3 x ＋ 2 可化为 | x － 1| ≥ 2. 由此可得 x ≥ 3 或 x ≤ － 1. 故当 a ＝ 1 时，不等式 f ( x ) ≥ 3 x ＋ 2 的解集为 { x | x ≥ 3 或 x ≤ － 1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | x ≤ － 1} ，求 a 的值 . 解　 由 f ( x ) ≤ 0 得 | x － a | ＋ 3 x ≤ 0 . 此 不等式化为不等式组 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 8.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － 2| x － a | ， a >0. (1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x )>1 的解集； 解　 当 a ＝ 1 时， f ( x )>1 化为 | x ＋ 1| － 2| x － 1| － 1>0. 当 x ≤ － 1 时，不等式化为 x － 4>0 ，无解； 当 x ≥ 1 时，不等式化为－ x ＋ 2>0 ，解得 1 ≤ x <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 a 的取值范围 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8