2013年高考数学（文科）真题分类汇编M单元 推理与证明

2013年高考数学（文科）真题分类汇编M单元 推理与证明

M单元　推理与证明 ‎ M1　合情推理与演绎推理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 图1－3‎ ‎17．M1[2013·湖北卷] 在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.‎ ‎(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；‎ ‎(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．‎ ‎17．(1)3，1，6　(2)79　[解析] 　(1)把四边形面积分割，其中四个面积为的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.‎ ‎(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b＋c，3＝a＋6b＋c，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a＋8b＋c，由上述三个方程组解得a＝1，b＝，c＝－1，所以S＝N＋L－1，将已知数据代入得S＝71＋9－1＝79.‎ ‎16．B7，M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：‎ ‎①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；‎ ‎②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；‎ ‎③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；‎ ‎④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)‎ ‎16．①③④　[解析] ①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当00，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立．‎ ‎③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边，成立；当>1时，左边＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥‎ 右边成立；若01>b>0，左边＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确．‎ ‎④中，若00，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln.‎ 又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，‎ ‎∴ln≤ln a或ln≤ln b，即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．‎ ‎13．M1[2013·陕西卷] 观察下列等式 ‎(1＋1)＝2×1‎ ‎(2＋1)(2＋2)＝22×1×3‎ ‎(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为______________．‎ ‎13．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)‎ ‎[解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n＋1)一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n－1)，故所求表达式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．‎ M2　直接证明与间接证明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.‎ ‎(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；‎ ‎(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；‎ ‎(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．‎ ‎20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.‎ ‎(2)证明：因为a1>0，公比q>1，‎ 所以a1，a2，…，an是递增数列．‎ 因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.‎ 于是对i＝1，2，…，n－1，‎ di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.‎ 因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，‎ 即d1，d2，…，dn－1是等比数列．‎ ‎(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．‎ 对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.‎ 又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.‎ 从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．‎ 又因为B1＝A1－d1＝a1－d12，d>2，则c＋d>4，与已知c＋d≤4相矛盾，则假设不成立，故min(a，b)≤2，即c∧d≤2.故选择C.‎ M3　数学归纳法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ M4　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎