广东省梅州市蕉岭中学2019-2020学年高一上学期第一次质量检测数学试题

广东省梅州市蕉岭中学2019-2020学年高一上学期第一次质量检测数学试题

www.ks5u.com 广东省梅州市蕉岭中学2019-2020学年高一上第一次质量检测 数 学 考试时长：120分钟 总分：150分 一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)‎ ‎1.设全集，则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，然后求得.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎3.设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)‎ A. 1 B. 0 C. 2 D. －1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，先求得的值，然后求得的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.‎ ‎4.指数函数的图象经过点（2，16）则的值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可．‎ 设指数函数为（且）,‎ 将（2，16）代入得,解得a=4,所以．‎ ‎5.定义在R上的偶函数f (x),在上单调递减，则（ ）‎ A f(－2)< f(1)< f(3) B. f(1)< f(－2)< f(3)‎ C. f(3)< f(－2)< f(1) D. f(3)< f(1)< f(－2)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用为偶函数化简，再根据函数在上单调递减，选出正确选项.‎ ‎【详解】由于为偶函数，所以.由于在上单调递减，所以，即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，属于基础题.‎ ‎6.函数y=是 （ ）‎ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因,故是偶函数,故应选B.‎ 考点：函数的奇偶性及判定.‎ ‎7.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据开口向上的二次函数在对称轴左边单调递减，即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】的对称轴为 ，‎ 又开口向上，即在上单调递减 即 即 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与单调区间的子区间，主要注意区分函数在 上是减函数与函数的单调递减区间为，属于基础题．‎ ‎8.函数最大值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，求得每一段函数值的取值范围，由此求得的最大值.‎ ‎【详解】当时，；当时，.所以的最大值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数最大值的求法，属于基础题.‎ ‎9.某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 先利用函数的单调性排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果：随着时间的增加，距学校的距离在减小，即函数图象应为减函数，排除A、C 曲线的斜率反映行进的速度，斜率的绝对值越大速度越大，步行后速度变小，故排除B 故选D ‎10.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．‎ ‎【详解】解：由对数和指数的性质可知， ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．‎ ‎11.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图像，得到，，进而可得出结果.‎ ‎【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 A. y＝x B. y＝|x－3| C. y＝2x D. y＝‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合新定义的知识确定函数的单调性，然后考查所给函数的性质即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由题意可得，“同族函数”不能是单调函数，考查所给的选项：‎ A.y＝x单调递增；‎ B.y＝|x－3|不具有单调性；‎ C.y＝2x单调递增；‎ D.y＝单调递减；‎ 据此可知，只有选项B能够被用来构造“同族函数”.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.设f (x)＝，则＝______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数解析式，求得函数值.‎ ‎【详解】依题意，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数解析式求函数值，属于基础题.‎ ‎14.不等式的解集为_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式左边转化为以为底的形式，根据的单调性，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】原不等式可化为，由于在上递增，所以，解得，故不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数运算，考查指数函数的单调性，考查不等式的解法，属于基础题.‎ ‎15.设 是定义在上的奇函数，当时，，则 ____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知时，解析式，故可求得f（-1），进而根据函数是奇函数 ‎，求得f（1）= -f（-1）.‎ ‎【详解】∵是奇函数，‎ ‎∴．∴f（1）= -3.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，若函数是奇函数，则f（-x）= -f（x），若函数是偶函数，则 f（-x）= f（x）.利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.‎ ‎16.某同学在研究函数 f（x）=（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：‎ ‎①等式f（-x）=-f（x）在x∈R时恒成立；‎ ‎②函数f（x）的值域为（-1，1）；‎ ‎③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；‎ ‎④方程f（x）=x在R上有三个根．‎ 其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由只有一个根说明④错误．‎ ‎【详解】对于①，任取，都有，∴①正确； ‎ 对于②，当时，， ‎ 根据函数的奇偶性知时，， ‎ 且时，，②正确； ‎ 对于③，则当时，， ‎ 由反比例函数的单调性以及复合函数知，在上是增函数，且；‎ 再由的奇偶性知，在上也是增函数，且 ‎ 时，一定有，③正确； ‎ 对于④，因为只有一个根， ‎ ‎∴方程在上有一个根，④错误． ‎ 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③．‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17.已知集合，，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合.‎ ‎（1）根据交集的概念和运算求得.‎ ‎（2）先求得，然后求得.‎ ‎【详解】或.‎ ‎（1）；‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎18.已知二次函数经过（0,3），对称轴为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，求的单调区间和值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据经过求得，根据二次函数对称轴求得，由此求得解析式.‎ ‎（2）根据二次函数开口方向和对称轴判断出函数的单调区间，根据对称性和单调性，求得函数在区间上的值域.‎ ‎【详解】(1)二次函数经过(0,3)，∴，‎ 又 的对称轴为 ，‎ ‎．‎ ‎(2) ∵，‎ ‎∴当时，的单调增区间为，单调减区间为，‎ 又,，‎ ‎∴的值域为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查二次函数在闭区间上的单调性和值域的求法，属于基础题.‎ ‎19.计算：（1）++；‎ ‎（2）解方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数、对数运算，化简所求表达式.‎ ‎（2）利用同底法，求得的值，由此求得的值，也即求得原方程的解.‎ ‎【详解】（1）原式= + 1 ++ ‎ ‎ =+ 1 + 2+ = ．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴ ，‎ 经检验是原方程的解 ．‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，考查同底法解对数不等式，属于基础题.‎ ‎20.已知函数，其中，‎ ‎（1）求的最大值和最小值；‎ ‎（2）若实数满足：恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最大值5，最小值－4；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法，结合二次函数的性质，求得的最值.‎ ‎（2）由分离常数，根据（1）中的最小值，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1） ，‎ 令，，，‎ 所以有：（），‎ 所以，当时，是减函数；当时，是增函数；‎ ‎，，‎ ‎（2）恒成立，即恒成立，所以：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有指数函数的二次型函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.‎ ‎21.已知函数为奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）用定义法证明在R上为增函数；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）－1；（2）见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于是定义在上的奇函数，由此根据求得的值.‎ ‎（2）任取，通过计算，证得在上递增.‎ ‎（3）利用的单调性，结合，化简不等式，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】（1）是奇函数且在0处有定义，‎ 故 经检验当时，是奇函数 ‎；‎ ‎（2）证明 ‎ 在R上任取且 ‎，‎ 在R上为增函数；‎ ‎（ 3）在R上单调递增函数，，‎ ‎ 原不等式等价于，‎ 解得：，‎ ‎ 所以原不等式的解集是．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，其最小值．‎ 求的表达式；‎ 当时，是否存在，使关于t不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合t取不同范围，结合二次函数的性质，计算解析式，即可．（2）结合t的范围，列出不等式，构造函数，绘制函数图像，结合图像，建立不等式，计算范围，即可．‎ ‎【详解】函数的对称轴为，‎ 当时，区间为增区间，可得；‎ 当，可得；‎ 当时，区间为减区间，可得．‎ 则；‎ 当时，即，‎ 可得，‎ 令，，‎ 可得在递减，在递增，‎ 在的图象如图所示：‎ ‎，，‎ 由图可得，即，关于t的不等式 有且仅有一个正整数解2，‎ 所以k的范围是 ‎【点睛】考查了二次函数的性质，考查了函数图像的绘制，考查了数形结合思想，难度偏难．‎ ‎ ‎ ‎ ‎