2018-2019学年湖北省宜昌市协作体高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省宜昌市协作体高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省宜昌市协作体高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）‎ A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 B．①用系统抽样法，②用分层抽样法 C．①用分层抽样法，②用随机抽样法 D．①用分层抽样法，②用系统抽样法 ‎【答案】C ‎【解析】因为①的总体中带有明显的三个层次，适合用分层抽样进行抽取，而②的总体个数较少，适合用简单随机抽样的方法进行抽取，所以选C ‎2．若直线与直线互相平行，则的值为（ ）‎ A．0或1 B．0或3 C．0或-1 D．-1或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合直线的斜率是否存在对分类讨论，分为和两种情形，利用两条直线相互平行的条件即可得出.‎ ‎【详解】‎ 时，两条直线方程即：，，此时两条直线不平行，舍去．‎ ‎，由于，则，解得或3，经过验证满足条件．‎ 综上可得：或3，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3．用秦九韶算法求多项式在时，的值为（ ）‎ A．2 B．-4 C．4 D．-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据秦九韶算法先将多项式改写成如下形式：，将代入并依次计算，，的值，即可得到答案 ‎【详解】‎ 多项式，‎ 当时，，，，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是秦九韶算法，其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则，是解答本题的关键，属于中档题.‎ ‎4．执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的=（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件，跳出循环，计算输出的值．‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知：输入时，，，，‎ 第一次循环，，；‎ 第二次循环，，；‎ 第三次循环，，；‎ 满足条件，跳出循环，输出，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于基础题．‎ ‎5．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）‎ A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，7‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察茎叶图可知甲组数为，乙组数为，根据平均数以及中位数的定义可得，的值．‎ ‎【详解】‎ 观察茎叶图可知甲组数为，乙组数为，‎ 甲组的中位数为，由于中位数相等，所以，‎ 乙组的平均数为，‎ 由于平均数相等，所以，解得，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数的概念，难度不大，属于基础题．‎ ‎6．若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线对称，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直，然后两点中点在直线上，联立两个一元两次方程求解即得．‎ ‎【详解】‎ 由，解得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、中点坐标公式、互相垂直的直线的斜率关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎7．直线过点（0，2），被圆截得的弦长为2则直线l的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．y=或y=2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线l被圆C：，截得的弦长为，所以圆心到直线距离为，设直线l的方程为，（斜率不存在时不满足题意）则或，即直线l的方程是或,选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.‎ ‎8．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．‎ ‎【详解】‎ 设弦的两端点为，，代入椭圆得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 即，即，‎ 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.‎ ‎9．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的半径为，则圆的内接正六边形可以分解为6‎ 个全等的三角形，且每个三角形的边长为，‎ 据此可得，圆的面积为，‎ 其内接正六边形的面积为，‎ 利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.‎ ‎10．若椭圆的离心率为，则k的值为( )‎ A．－21 B．21 C．－或21 D．或21‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C ‎【考点】椭圆方程及性质 ‎11．椭圆上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是( )‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）‎ 则点P到直线的距离 d=；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．‎ ‎12．曲线C的方程为，若直线的曲线C有公共点，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：】曲线C即为平面上到两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹，但两个定点的距离为，故曲线C的轨迹为线段，而直线即，它是过定点，斜率为的直线，要使直线与线段有公共点，即需 ‎【考点】曲线的轨迹，过定点的直线的特征，直线的斜率 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定为________ ．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】利用全称命题的否定是特称命题，将全称量词改为特称量词，结论进行否定，写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“，”的否定为：，．‎ 故答案为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，注意结论及量词的变化，是基本知识的考查.‎ ‎14．已知与之间的一组数据：‎ 已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为___．‎ ‎【答案】2.15‎ ‎【解析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出的值．‎ ‎【详解】‎ 由表可得，，将带入方程得：‎ ‎，解得：，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数， 属于中档题.‎ ‎15．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎（1）在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎16．椭圆T：＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,‎ 所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,‎ 所以∠F1MF2=90°,‎ 所以F1M⊥F2M,‎ 在Rt△F1MF2中,‎ ‎|MF1|=c,|MF2|=c,‎ 所以e=====-1.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线的方程为．‎ ‎（1）求过点，且与直线垂直的直线的方程；‎ ‎（2）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】试题分析：直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；‎ 设所求直线方程为，由于点到该直线的距离为，可得，解出或，即可得出答案；‎ 解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，‎ 又∵过点，∴所求直线方程为，‎ 即．‎ ‎（2）依题意设所求直线方程为，‎ ‎∵点 到该直线的距离为，‎ ‎∴，解得或，‎ 所以，所求直线方程为或．‎ ‎18．设命题实数满足（）；命题实数满足 ‎（1）若且p∧q为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，‎ 又，所以，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围为.‎ 为真时实数的取值范围是，‎ 若为真，则真真，所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）是的充分不必要条件，即 ， ‎ 等价于，设，，则是的真子集；‎ 则，且所以实数 的取值范围是.‎ ‎19．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) (2)36000（3）‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎20．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个；‎ ‎②若，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论 试题解析：(1)两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），‎ ‎（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），‎ ‎（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），‎ ‎（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个。‎ 满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为。…4分 ‎(2) 满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为；………8分 小亮获得饮料的概率为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。…10分 ‎【考点】古典概型 ‎21．已知圆.‎ ‎（1）此方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线相交于.两点，且 (为坐标原点)，求的值；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】解：（1）方程变形为 ‎∵此方程表示圆 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）由消去得 设，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎22．已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△OMN面积取最小值时，求此时直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】(1)由和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求出a,b，即可得出椭圆方程；‎ ‎(2)联立直线和椭圆方程可得,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，∴依题意，，又，故．由得b2=3．‎ 故所求椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由，消y得，‎ 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，‎ ‎，整理得．‎ 由条件可得，，．‎ 所以．①‎ 将代入①，得． ‎ 因为，所以，‎ 当且仅当，则，即时等号成立，有最小值．‎ 因为，所以，又，解得．‎ 故所求直线方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆方程以及椭圆的简单性质，属于中档试题.‎