广东省化州市2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 含答案

广东省化州市2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 含答案

化州市2020年高考第二次模拟考试 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设全集U＝R，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩（∁UB）＝（　　）‎ A．{1，2} B．{﹣1，0，2} C．{2} D．{﹣1，0}‎ ‎2．设复数，则f（z）＝（　　）‎ A．i B．﹣i C．﹣1+i D．1+i ‎3．“∀x∈R，x2﹣bx+1＞0成立”是“b∈[0，1]”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数的最小正周期为4π，则（　　）‎ A．函数f（x）的图象关于原点对称 ‎ B．函数f（x）的图象关于直线对称 ‎ C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 ‎ D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增 ‎5．当实数x、y满足不等式组时，恒有ax+y≤3成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．a≤0 B．a≥‎0 ‎C．0≤a≤2 D．a≤3‎ ‎6．函数f（x）＝a（a＞1）的部分图象大致是（　　）‎ ‎7．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*‎ ‎）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（　　）‎ A．每场比赛第一名得分a为4 ‎ B．甲可能有一场比赛获得第二名 ‎ C．乙有四场比赛获得第三名 ‎ D．丙可能有一场比赛获得第一名 ‎8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ A．8 B． C．4 D．‎ ‎9．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC＝2，a+b＝6，2cosC，则 c＝（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．2 D．3‎ ‎10．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎11．若（x1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（　　）‎ A．1 B．‎1 ‎C．1 D．‎ ‎12．定义：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1），f′（x2），则称函数y＝f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）＝x3x2是区间[0，t]上的双中值函数，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（） B．（） C．（） D．（1，）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．已知向量（3，4），则与反向的单位向量为　 　‎ ‎14．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝　 　．‎ ‎15．已知曲线f（x）x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为　 　．‎ ‎16．已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x＝λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是　 　．‎ 三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分 ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15．‎ ‎（1）求Sn；‎ ‎（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．‎ ‎18．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°．‎ ‎（1）证明：AD⊥BA1；‎ ‎（2）若平面ADD‎1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值．‎ ‎19．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ ‎（0，1000]‎ ‎（1000，2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎20．已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）已知定点M（，0），N（，0），点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）．‎ ‎（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；‎ ‎（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．‎ ‎（二）选做题：共10分请考生在第（22）题和第（23）题中任选一题作答，作答时请在答题卡的对应答题区写上題号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑 ‎22．.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎（2）射线θ（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于原点O），定点（M（2，0），求△MAB的面积．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+3|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＜3的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）＜3+a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．B ‎2．A ‎3．B ‎4．C ‎5．D ‎6．C ‎7．C ‎8．D ‎9．‎ ‎10．A ‎11．B ‎12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．‎ ‎14．．‎ ‎15．．‎ ‎16．若基集B的元素个数为1，显然不合题意；‎ 若基集B的元素个数为2，不妨设为a，b，且a＞b，则所有的可能组合为a，b，a+b，a﹣b，显然不合题意；‎ 若基集B的元素个数为3，不妨设为a，b，c，且a＞b＞c，‎ 则所有的可能组合为a，b，c，a+b，a+c，b+c，a﹣b，a﹣c，b﹣c，共9中情况，显然不合题意；‎ 若基集B的元素个数为4，不妨令B＝{1，2，4，8}，此时对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），‎ 使得x＝λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），‎ 所以基集B的元素个数最小值为4．‎ 三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分 ‎17．（1）解：S3＝‎3a2＝15⇒a2＝5，∴，‎ ‎∴an＝2n+1，；‎ ‎（2）证明：‎ ‎．．‎ ‎18．证明：（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，‎ ‎∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，‎ 又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，‎ ‎∵A1B⊂平面A1OB，∴AD⊥A1B．‎ 解：（2）∵平面ADD‎1A1⊥平面ABCD，‎ 平面ADD‎1A1∩平面ABCD＝AD，‎ 又A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴OA、OA1、OB两两垂直，‎ 以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 设AB＝AD＝A1D＝2，则A（1，0，0），，D（﹣1，0，0），．‎ 则，，‎ 设平面A1B1CD的法向量 则令，则y＝1，z＝﹣1，可取 设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ，‎ 则．‎ ‎∴直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值为．‎ ‎19．（Ⅰ）由题意得：‎ 从全校所有学生中随机抽取的100人中，‎ A，B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，‎ ‎∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，‎ ‎∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p0.4．‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，‎ 则X的可能取值为0，1，2，‎ 样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，‎ 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，‎ P（X＝0），‎ P（X＝1），‎ P（X＝2），‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学期望E（X）1．‎ ‎（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，‎ 理由如下：‎ 从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，‎ 随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p，‎ 虽然概率较小，但发生的可能性为．‎ 故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．‎ ‎20．（1）设点P（x，y），则Q（﹣2，y），∴、，‎ ‎∵，所以，，即y2＝2x．‎ 因此，点P的轨迹方程为y2＝2x；‎ ‎（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），直线BD与x轴的交点为E，内切圆与AB切于点T，‎ 设直线AM的方程为，联立方程，得，‎ ‎∴，且0＜x1＜x2，∴，所以，直线AN的方程为，‎ 与方程y2＝2x联立得：，化简得，‎ 解得或x＝x1，∵，∴BD⊥x轴，‎ 设△MBD的内切圆圆心为H，则H在x轴上，且HT⊥AB．‎ 方法一：∴，且△MBD的周长为：‎ ‎∴‎ ‎∴；‎ 方法二：设H（x2﹣r，0），直线BD的方程为x＝x2，其中．‎ 直线AM的方程为：，即，且点H与点O在直线AB的同侧，‎ ‎∴，解得：．‎ 方法三：∵△MTH∽△MEB，∴，即，‎ 解得：，‎ 令，则t＞1，∴在（1，+∞）上单调递增，则，‎ 即r的取值范围是．‎ ‎21．（1）∵f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1），‎ ‎∴f′（x）＝（kx+k﹣1）ex﹣k＝k[（x+1）ex﹣1]﹣ex，‎ 由已知得，，‎ 令g（x）＝（x+1）ex﹣1，则g′（x）＝（x+2）ex，‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ ‎∵x＜﹣2，∴x+1＜﹣1，则（x+1）ex﹣1＜0，因此g（x）＜0；‎ 当x∈（﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 又g（0）＝0，∴g（x）有唯一零点，故x0＝0；‎ ‎（2）f（x）＜0，即（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）＜0，‎ ‎∴k（xex﹣x+1）＜ex，‎ 当x≥0时，∵ex﹣1≥0，∴x（ex﹣1）+1＞0，‎ 当x＜0时，∵ex﹣1＜0，∴x（ex﹣1）+1＞0，‎ ‎∴x（ex﹣1）+1＞0，‎ 则k（xex﹣x+1）＜ex⇔k．‎ 设h（x），则k＜h（x）max．‎ 又h′（x），令φ（x）＝2﹣ex﹣x，‎ 则φ′（x）＝﹣ex﹣1＜0，φ（x）在R上单调递减，‎ 又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）＝0，‎ 即，‎ 当x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，‎ 当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，‎ ‎∴h（x）max．‎ 令t＝x0﹣2（﹣2＜t＜﹣1），则y＝t∈（），‎ 则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．‎ ‎22．（1）解：曲线C1直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝0，‎ 由ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y得：‎ 曲线C1极坐标方程为ρ＝4sinθ，‎ ‎（2）法一：‎ 解：M到射线θ的距离为d＝2sin，‎ ‎|AB|＝ρB﹣ρA＝4（sincos）＝2（1）‎ 则S△MAB|AB|×d＝3．‎ 法二：‎ 解：将θ（ρ≥0）化为普通方程为yx（x≥0），‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，‎ 由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x得：‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，‎ 由得∴A（，3）‎ 得∴B（1，），‎ ‎，‎ 点M到直线，‎ ‎∴．‎ ‎23．（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|＜3，‎ 当x≤﹣3时2﹣x+x+3＜3解集为空集；‎ 当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）＜3解得﹣2＜x＜2；‎ 当x≥2时x﹣2﹣（x+3）＜3解得x≥2；‎ 故所求不等式的解集为（﹣2，+∞）．‎ ‎（2）不等式f（x）＜3+a等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，‎ ‎∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，‎ ‎∴a+3＞5，‎ ‎∴a＞2．‎