【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第九章第一讲 直线方程与两直线的位置关系
第九章 直线和圆的方程
第一讲 直线方程与两直线的位置关系
1.[2020山东青岛模拟]已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是( )
A.3x - 2y - 1=0 B.3x - 2y+1=0
C.2x+3y - 5=0 D.2x - 3y+1=0
2.[2020浙江台州五校联考]已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为( )
A.( - ∞, - 52] B.[2,+∞)C.[ - 52,12] D.( - ∞, - 52]∪[2,+∞)
3.[2020河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )
A.2x - 4y - 3=0 B.2x+4y+3=0
C.4x - 2y - 3=0 D.2x+4y - 3=0
4.[2016四川,9,5分][理]设直线l1,l2分别是函数f (x)=-lnx,0
1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
5.[2016浙江,4,5分]若平面区域x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.355 B.2 C.322 D.5
6.[2020四川五校高三联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y - 5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.[2020贵州遵义四中模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .
8.[2019成都高三摸底测试]已知a>0,b>0,若直线(a - 1)x+2y - 1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是 .
9.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
考法1求直线的方程
1(1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9 - 1 - 1所示,当△ABO的面积取最小值时直线l的方程为 .
(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).
则直线的方程为y=43x,即4x - 3y=0.
②若a≠0,设所求直线的方程为xa+ya=1,
又点(3,4)在直线上,所以3a+4a=1,所以a=7.
所以直线的方程为x+y - 7=0.
综上可知所求直线的方程为4x - 3y=0或x+y - 7=0.
(2)解法一 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为xa+yb=1.(截距式)
因为l过点P(3,2),所以3a+2b=1.
因为1=3a+2b≥26ab,整理得ab≥24,所以S△ABO=12ab≥12.
当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时取等号.
此时直线l的方程是x6+y4=1,即2x+3y - 12=0.
解法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,
可设直线l的方程为y - 2=k(x - 3)(k<0),(点斜式)
则A(3 - 2k,0),B(0,2 - 3k),
S△ABO=12(2 - 3k)(3 - 2k)
=12[12+( - 9k)+4-k]
≥12[12+2(-9k)·4-k]
=12×(12+12)
=12,
当且仅当 - 9k=4-k,即k= - 23时,等号成立.
所以所求直线l的方程为2x+3y - 12=0.
1.[2020江西省九江市三校联考]已知直线l过点(2,1),且在x,y轴上的截距相等.
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l在x,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
考法2两直线位置关系的判断及应用
2 (1)已知经过点A( - 2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0, - 1)和点Q(a, - 2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为 .
(2)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m - 2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:①平行;②垂直.
(1)讨论a与0的关系→根据两直线垂直时斜率之间的关系列关于a的方程,解之可得结果
(2)思路一 ①两直线平行(点斜式)→k1=k2且b1≠b2
②两直线垂直(点斜式)→k1k2= - 1
A1B2-A2B1=0B1C2-B2C1≠0
思路二 ①两直线平行(一般式)→
②两直线垂直(一般式)→A1A2+B1B2=0
(1)l1的斜率k1=3a-01-(-2)=a.
当a≠0时,l2的斜率k2=-2a-(-1)a-0=1-2aa.
因为l1⊥l2,
所以k1k2= - 1,即a·1-2aa= - 1,
解得a=1.
当a=0时,P(0, - 1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A( - 2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.
综上可知,实数a的值为1或0.
(2)解法一 当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x - 3y=0,l1与l2相交且不垂直.
当m≠0时,l1:y= - 1mx - 6m,l2:y= - m-23x - 2m3.
①l1∥l2⇔ - 1m= - m-23且 - 6m≠ - 2m3,解得m= - 1.
所以当m= - 1时,l1∥l2.
②l1⊥l2⇔( - 1m)·( - m-23)= - 1,解得m=12.
所以当m=12时,l1⊥l2.
解法二 ①若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,m×2m-3×6≠0,
即m2-2m-3=0,m2≠9,解得m= - 1.
所以当m= - 1时,l1∥l2.
②若l1⊥l2,则1×(m - 2)+m×3=0,解得m=12.
所以当m=12时,l1⊥l2.
对于此类题,根据两直线平行或垂直时满足的条件即可求解,注意讨论直线的斜率是否为零.
2.已知直线l的方程为3x+4y - 12=0,求直线l' 的方程,使l' 满足:
(1)过点( - 1,3),且与l平行;
(2)过点( - 1,3),且与l垂直;
(3)l' 与l垂直,且l' 与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
考法3两直线的交点与距离问题
3[2020武汉市调研考试]已知直线l经过直线2x+y - 5=0与直线x - 2y=0的交点.
(1)若点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.
(2)求出两直线的交点P点A到直线l的距离d的最大
值dmax=|PA|
(1)易知点A到直线x - 2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y - 5)+λ(x - 2y)=0,即(2+λ)x+(1 - 2λ)y - 5=0.
由题意得|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3,即2λ2 - 5λ+2=0,
解得λ=2或λ=12.
所以直线l的方程为4x - 3y - 5=0或x=2.
(2)解方程组2x+y-5=0,x-2y=0,可得两直线的交点为P(2,1).
过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则
d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以dmax=|PA|=(5-2)2+(0-1)2=10.
于是点A(5,0)到直线l的距离的最大值为10.
3.(1)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y= - 33x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,12),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为( )
A.332 B.23 C.532 D.33
(2)[2019江苏,10,5分]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
考法4对称问题
4已知直线l:2x - 3y+1=0,点A( - 1, - 2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A' 的坐标;
(2)直线m:3x - 2y - 6=0关于直线l的对称直线m' 的方程;
(3)直线l关于点A对称的直线l' 的方程.
(1)设A' (x,y),由对称性求出A' 的坐标.
(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M' 的坐标,结合两直线的交点,可求出m' 的方程.
(3)思路一 在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对称点P',N',可得直线l'的方程.
思路二 在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q',将其坐标代入直线l的方程,可得直线l'的方程.
(1)设A' (x,y),则y+2x+1·23=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313,y=413,即A' ( - 3313,413).
(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上.
设M关于直线l的对称点为M' (a,b),则2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,
解得a=613,b=3013,即M' (613,3013).
设m与l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0得N(4,3).
又m' 经过点N(4,3),
所以由两点式得直线m' 的方程为9x - 46y+102=0.
(3)解法一 在l:2x - 3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P' ,N' 均在直线l' 上.易知P' ( - 3, - 5),N' ( - 6, - 7),由两点式可得l' 的方程为2x - 3y - 9=0.
解法二 设Q(x,y)为l' 上任意一点,则Q(x,y)关于点A( - 1, - 2)的对称点为Q' ( - 2 - x, - 4 - y),
因为点Q' 在直线l上,所以2( - 2 - x) - 3( - 4 - y)+1=0,
即2x - 3y - 9=0.
4.[2019豫南九校第四次联考]已知△ABC的一个顶点A(2, - 4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y - 2=0,x - 3y - 6=0,则BC所在直线的方程为 .
易错忽略斜率不存在致误
5 [2019河南省中原名校第三次联考]设圆x2+y2 - 2x - 2y - 2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=
2 3,则直线l的方程为
A.3x+4y - 12=0或4x - 3y+9=0
B.3x - 4y+12=0或4x+3y+9=0
C.4x - 3y+9=0或x=0
D.3x+4y - 12=0或x=0
条件与
目标
条件:①圆的方程;②直线过定点;③直线被圆截得的弦长.
目标:求符合条件的直线的方程.
思路与
方法
思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.
方法:待定系数法.
过程与
关键
过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.
关键:①当直线的斜率不存在时,易知l:x=0,与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,检验|AB|是否符合.
②当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,与圆的方程联立,利用d2=r2 - (|AB|2)2求得直线l的斜率.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由x=0,x2+y2-2x-2y-2=0解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3,
所以|AB|=23,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,
由已知可得圆的标准方程为(x - 1)2+(y - 1)2=4,其圆心为C(1,1),半径r=2,
所以圆心C到直线kx - y+3=0的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1.
因为d 2=r 2 - (|AB|2)2,
所以(k+2)2k2+1=4 - (232)2,即(k+2)2=k2+1,解得k= - 34,
所以直线l的方程为y= - 34x+3,即3x+4y - 12=0.
综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y - 12=0.故选D.
D
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数学运算
①联立得到方程组,求解得到交点坐标,计算|AB|.
②由d2=r2 - (|AB|2)2,求解k值,得到直线的方程.
二
逻辑推理
分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在的情况.
一
易错警示
求解本题容易出现的问题是忽略对直线的斜率不存在时的讨论.这类问题一般有以下两种情形:
(1)过圆外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,若由d=r(d为圆心到切线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存在的直线l:x=x0是否也符合条件.
(2)过一定点P(x0,y0)作圆的两条割线lAB(排除过圆心的割线),与圆交于A,B两点,若由d 2=r2 - (|AB|2)2(d为圆心到割线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存在的直线l:x=x0是否也符合条件.
5.[2019惠州市高三调研]过点A(3,5)作圆O:x2+y2 - 2x - 4y+1=0的切线,则切线的方程为 .
1.C 解方程组x+y=2,2x - y=1,得x=1,y=1,即直线l1,l2的交点为(1,1).因为直线l的一个方向向量v=( - 3,2),所以直线l的斜率k= - 23,则直线l的方程为
y - 1= - 23(x - 1),即2x+3y - 5=0.故选C.
2.D 直线AP的斜率k1=1+11 - 0=2,直线BP的斜率k2=1+41 - 3= - 52.设直线l与线段AB交于点M,当直线l的倾斜角为锐角时,随着M从点A向点B移动的过程中,l的倾斜角变大,l的斜率也变大,此时l的斜率k≥2;当直线l的倾斜角为钝角时,随着l的倾斜角变大,l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率,此时l的斜率k≤ - 52;直线PM平行于y轴时,斜率不存在.综上所述,直线l的斜率的取值范围为( - ∞, - 52]∪[2,+∞).故选D.
3.D 易知线段BC的中点坐标为( - 12,1),线段BC所在直线的斜率kBC=2 - 00 - ( - 1)=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y - 1= - 12(x+12),即2x+4y - 3=0.因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,即△ABC的欧拉线方程为2x+4y - 3=0.故选D.
4.A 不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2, - ln x2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以1x1×( - 1x2)= - 1,则x1=1x2.又切线l1:y - ln x1=1x1(x - x1),l2:y+ln x2= - 1x2(x - x2),于是A(0,ln x1 - 1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由y - lnx1=1x1(x - x1),y+lnx2= - 1x2(x - x2),解得xP=2x1+1x1,所以S△PAB=12×2×xP=2x1+1x1,因为x1>1,所以x1+1x1>2,所以S△PAB的取值范围是(0,1),故选A.
5.B 不等式组x+y - 3≥0,2x - y - 3≤0,x - 2y+3≥0表示的平面区域如图D 9 - 1 - 1中阴影部分所示,
图D 9 - 1 - 1
其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为 - 1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.
6.C 解法一 如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= - x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y - 5=x+1,即y=x+6,与y= - x联立,得P( - 3,3).
所以|PC|=( - 1+3)2+(5 - 3)2=22,设∠APC=α,则∠APB=2α,
在△APC中,sin α=|AC||PC|=222=12,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故选C.
图D 9 - 1 - 2
解法二 如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= - x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径r=2,sin∠APC=|AC||PC|=12,则∠APC=30°,所以∠APB=60°.故选C.
7.3x - 2y=0或x - y+1=0 当直线过原点时,直线的斜率为k=3 - 02 - 0=32,此时直线方程为y=32x,即3x - 2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y - a=1,把(2,3)代入可得a= - 1,此时直线方程为x - y+1=0.故填3x - 2y=0或x - y+1=0.
8.18 由两条直线互相垂直得(a - 1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=12(a·2b)≤12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时取等号.故ab的最大值是18.
9.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k=y1 - y2x1 - x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设及(1)知x32=1,
解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=x24得x2 - 4x - 4m=0.
Δ=16(m+1)>0,则m> - 1,
解得x1=2+2m+1,x2=2 - 2m+1.
从而|AB|=2|x1 - x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
1.(1)①当直线l在x,y轴上的截距均为0时,直线l的斜率为k=12,
所以直线l的方程为y=12x,化为一般方程为x - 2y=0.
②当直线l在x,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xt+yt=1,
将(2,1)代入,得2t+1t=1,解得t=3,
此时直线l的一般方程为x+y - 3=0.
综上,直线l的一般方程为x - 2y=0或x+y - 3=0.
(2)由题意得,直线l的方程为x+y - 3=0,则a+b=3.
所以3a+3b≥23a·3b=23a+b=63,
当且仅当a=b=32时等号成立.
所以3a+3b的最小值为63.
2.(1)解法一 直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,
因为l'与l平行,所以直线l'的斜率为 - 34.
又l'过点( - 1,3),所以由点斜式得直线l'的方程为y - 3= - 34(x+1),
即3x+4y - 9=0.
解法二 由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠ - 12),
将( - 1,3)代入,得m= - 9,
于是所求直线方程为3x+4y - 9=0.
(2)解法一 直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,
因为l'与l垂直,所以直线l'的斜率为43.
又l'过点( - 1,3),所以由点斜式得直线方程为y - 3=43(x+1),
即4x - 3y+13=0.
解法二 由l'与l垂直,可设l'的方程为4x - 3y+n=0,
将( - 1,3)代入,得n=13,
于是所求直线方程为4x - 3y+13=0.
(3)解法一 直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,
因为l'⊥l,所以直线l'的斜率为43.
设l'在y轴上的截距为b,则直线l'的方程为y=43x+b,l'在x轴上的截距为 - 34b,
由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|b|·| - 34b|=4,解得b=±463.
所以直线l'的方程为y=43x+463或y=43x - 463,
即4x - 3y+46=0或4x - 3y - 46=0.
解法二 由l'与l垂直,可设直线l'的方程为4x - 3y+p=0,
则l'在x轴上的截距为 - p4,在y轴上的截距为p3.
由题意可知,l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=12·|p3|·| - p4|=4,求得p=±46.
所以直线l'的方程为4x - 3y+46=0或4x - 3y - 46=0.
3.(1)C 过点C作直线l,使l∥AB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22 - 12=3.直线AB的方程可化为3x+3y - 3=0,由△ABP和△ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+3×12 - 3|(3)2+32=3,解得m= - 332或m=532.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.
(2)4 解法一 设P(x,x+4x),x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x2≥22x·4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法二 由y=x+4x(x>0)得y'=1 - 4x2,令1 - 4x2= - 1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.
【方法总结】 求曲线上一点到直线的距离的最小值时,一般解法是设出曲线上点的坐标,利用点到直线的距离公式建立目标函数,再利用基本不等式或导数求解最值,也可平移直线,使平移后的直线与曲线相切,此时切点到原直线的距离最小.
4.x+7y - 6=0 由角平分线的性质知,点A关于∠B,∠C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.
设点A(2, - 4)关于直线x - 3y - 6=0的对称点为A1(x1,y1),则有y1+4x1 - 2= - 3,x1+22 - 3·y1 - 42 - 6=0,解得x1=25,y1=45,即A1(25,45).
同理可得,点A(2, - 4)关于直线x+y - 2=0的对称点A2的坐标为(6,0).
所以直线A1A2的方程为y=0 - 456 - 25(x - 6),即x+7y - 6=0.
所以BC所在直线的方程为x+7y - 6=0.
5.5x - 12y+45=0或x - 3=0 圆O的标准方程为(x - 1)2+(y - 2)2=4,其圆心为(1,2).∵|OA|=(3 - 1)2+(5 - 2)2=13>2,∴点A(3,5)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x - 3=0;当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y - 5=k(x - 3),即kx - y+5 - 3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d=|3 - 2k|k2+1=2,即|3 - 2k|=2k2+1,∴k=512,即切线方程为5x - 12y+45=0.综上可知,所求切线的方程为5x - 12y+45=0或x - 3=0.