数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期第二次月考（2017

数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期第二次月考（2017

高三第一学期第2次考试数学试题 一、选择题 ‎1．设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．如图是函数 图象的一部分，对不同，若，有，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎4．若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x2,函数,则函数在区间［-5，10］内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12‎ ‎5．若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. (1，＋∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)‎ ‎6．设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎7．定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时， ,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知满足，则的取值范围是 （ ）[‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．定义在上的函数满足，当时， ，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．已知点在正方体的对角线上， ，则与所成角的大小为___________.‎ ‎14．已知椭圆： ，双曲线： ，以的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与轴正半轴交于点， 为椭圆右焦点， 为椭圆右顶点， 为直线与轴的交点，且满足是与的等差数列，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．‎ ‎15．已知椭圆： ，双曲线： ，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点， 为椭圆右焦点， 为椭圆右顶点， 为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．‎ ‎16．设的最小值为___________‎ 三、解答题 ‎17．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上， ‎ 为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点， 为等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.‎ ‎18．设函数，‎ ‎（I）当时，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上有零点，求实数的范围；‎ ‎（III）证明不等式.‎ ‎19．设函数，函数 ‎ ‎（1）当时，解关于的不等式： ；‎ ‎（2）若且，已知函数有两个零点和，若点， ，其中是坐标原点，证明： 与不可能垂直。‎ ‎20．设函数， .‎ ‎(1)当 (为自然对数的底数)时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(2)讨论函数的零点的个数；‎ ‎ (3)若对任意， 恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 DDDBD BCCAD ‎11．D ‎12．C ‎13．‎ ‎14． ‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎17．（1）（2）‎ ‎（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得， ‎ 从而得到，故而椭圆经过， ‎ 代入椭圆方程得，解得， ‎ 所求的椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意，设直线的方程为，‎ ‎，‎ 由得，‎ 则 ‎ ‎．‎ ‎∵，∴，解得． ‎ 由消得．‎ 设，‎ ‎， ，‎ 则 ‎． ‎ 设，则，其中， ‎ ‎∵关于在上为减函数， ‎ ‎∴，即的面积的取值范围为．‎ ‎18．（I）；（II）；（III）见解析.‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎（II）‎ 若上递增，且，所以在 上没有零点 若 ‎ 所以 ‎ 当时，极值点，又， 在无零点 当时，极值点 ‎， 在上递减， ‎ ‎， 在上递增 所以，所以在上有零点 所以， 的取值范围是 .‎ ‎（III）证明：设函数 ‎(1)当， 在上递减 ‎(2)当时，设 ‎ 即当时， ， 在上递增，‎ 由（1）（2）知， ‎ 即.‎ ‎19．（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎（1）当时，由有，即，当时，有，解得： 当时， ，解得： 或，当时， ，所以 当时， ，解得： 当时， ，此时无解 当时， ，解得： ，综上： 当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： ‎ ‎，当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： ，当时，原不等式的解集为： .‎ ‎（2）时， 由为的两根可得， ， ‎ 假设，即，故，即，所以从而有 ，即 ‎ 故即，这与矛盾.故与不可能垂直. ‎ ‎20．(I) ；(II)见解析；（III）。[]‎ ‎ (1)当时， ，所以， ，切点坐标为所以曲线在点处的切线方程为. ‎ ‎(2)因为函数令，得，设所以，当时， ，此时在上为增函数；当时， ，此时在上为减函数，所以当时， 取极大值，‎ 令，即，解得或，由函数的图像知：‎ 当时，函数和函数无交点；‎ ‚当时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ ƒ当时，函数和函数有两个交点；‎ ‎④当时，函数和函数有且仅有一个交点。‎ 综上所述，当时，函数无零点；‎ 当或时，函数有且仅有一个零点 当时，函数有两个零点 ‎（3）对任意恒成立，等价于恒成立，设则在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为，所以，当且仅当时， ，‎ 所以实数的取值范围. ‎