云南省昆明三中、滇池中学2012—2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题

云南省昆明三中、滇池中学2012—2013学年高二上学期期中考试数学（理）试题

昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题 数 学（理）‎ ‎（共100分, 考试时间120分钟）‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题（每小题3分，共36分. 每小题只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．抛物线y2＝4x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于 (　　)‎ A. B．‎4 ‎ C. D．3‎ ‎2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 (　　)‎ A．－　　　 B．－‎4　‎‎　　 ‎ C．4　　　 D. ‎3．命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝‎0”‎的逆否命题是 (　　)‎ A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0‎ B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0‎ ‎4.“m>n>‎0”‎是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 (　　)‎ A．充分而不必要条件 B． 充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线 x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 (　　)‎ A．5　　　　 B．‎4　‎　　　 C.　　　　 D. ‎6．设a∈R，则a＞1是＜1的 (　　)‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 (　　)‎ A3 B．3或 C. D.或 ‎8．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与‎2a－b互相垂直，则k的值是(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎9. 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，求该双曲线的离心率是 (　　)‎ A. B. C． D. 2‎ ‎10．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 (　　)‎ A．5 B. C．20 D．10‎ ‎11．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 (　　)‎ A．－5 B．‎1 ‎‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎12．已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆的离心率的取值范围为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ 昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题 数 学（理）‎ 第Ⅱ卷 题号 一 二 三 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 得分 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）‎ ‎13．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤‎0”‎的否定是 ； ‎ ‎14．设实数满足，则的最大值是 ；‎ ‎15．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·= ; ‎ ‎16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道＋为定值，请写出关于椭圆的类似的结论： _____________________________________ ___________；当椭圆方程为＋＝1时，＋＝___________.‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共52分） ‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(‎2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18. （本小题满分10分）‎ ‎（1）求与椭圆共焦点的抛物线的标准方程.‎ ‎(2)已知两圆，，动圆与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎19．（本小题满分10分）‎ 如图，已知点P在正方体的对角线上，.‎ ‎（1）求DP与CC1所成角的大小；‎ ‎（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.‎ ‎20．（本小题满分10分）‎ 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，，且侧面PAB是正三角形，平面平面ABCD.‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E—BD—A的大小为，若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知圆C的方程为，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.‎ ‎ （1）求椭圆T的方程；‎ ‎ （2）已知直线与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线方程为，O为坐标原点，求面积的最大值.‎ 昆明三中2012-2013学年度高二年级上学期期中试题 数 学（理）答案 一、选择题：BADBC ABCCD DA 二、填空题：‎ ‎13. 存在x∈R，x3－x2＋1＞0 14. 15. － ‎16. 过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则＋为定值　 三、解答题：‎ ‎17.解析：解|4x－3|≤1得≤x≤1.解q得a≤x≤a＋1.由题设条件得q是p的必要不充分条件，即p⇒q，qp.‎ ‎∴[，1][a，a＋1]．‎ ‎∴a≤且a＋1≥1，得0≤a≤.‎ ‎18.（1）或 ‎（2）‎ ‎19. 解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．‎ 则，．连结，．‎ 在平面中，延长交于．设，‎ 由已知，由 A B C D P x y z H 可得．解得，所以．‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 所以．即与所成的角为．‎ ‎（Ⅱ）平面的一个法向量是．‎ 因为，‎ 所以．‎ 可得与平面所成的角为．‎ ‎ 20．解析：‎ ‎ 取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABC D．以H为原点，建立空间直角坐标系H－（如图）．则 ‎ ‎（I）证明：∵, ‎ P E B C D A H x y z ‎∴，‎ ‎∴，即PD⊥A C． ………．．6分 ‎ （II） 假设在棱PA上存在一点E，不妨设=λ，‎ 则点E的坐标为， ………．．8分 ‎∴‎ 设是平面EBD的法向量，则 ‎，‎ 不妨取，则得到平面EBD的一个法向量． ‎ 又面ABD的法向量可以是=（0,0, ），‎ 要使二面角E-BD-A的大小等于45°，‎ 则 可解得，即=‎ 故在棱上存在点，当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°． ‎ ‎21．解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为： ‎ 则：，解得：，此时切线方程为：‎ 切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为 ‎ 令，解得，∴；令,得,∴‎ 故所求椭圆方程为 ‎ ‎（Ⅱ）联立整理得，‎ 令，，则，，‎ ‎，即： ‎ 原点到直线的距离为， ‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎ =‎ 当且仅当时取等号，则面积的最大值为1． ‎ ‎ ‎