江西省湘东中学2019-2020学年高一下学期期中线上能力测试数学试题 Word版含解析

江西省湘东中学2019-2020学年高一下学期期中线上能力测试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019~2020学年度下学期高一期中能力测试【线上】‎ 数学学科试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.数列，，，，的一个通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.‎ ‎【详解】，，，‎ 所以其通项公式是：‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.‎ ‎2.在中，，则的形状为( )‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理将等式两边和转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案.‎ ‎【详解】，正弦定理可得，‎ 即，，，‎ 或.‎ - 16 -‎ ‎∴或，‎ ‎∴为等腰三角形或直角三角形.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列{an}中，，则公差d的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的通项公式进行计算即可得答案.‎ ‎【详解】等差数列{an}中，，‎ 则即3=9+6d,‎ 解得d=-1‎ 故选C ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.‎ ‎4.在中，内角的对边分别为,且，则边（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理可求．‎ ‎【详解】解：由正弦定理可得 解得 - 16 -‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎5.若数列是等差数列，其公差，且，则（ ）‎ A. 18 B. C. D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，解得，从而，由此能求出．‎ ‎【详解】解：∵数列是等差数列，其公差，且，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数列的第10项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎6.如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用余弦定理可求，根据同角的三角函数的基本关系式求出后在 - 16 -‎ 中利用正弦定理可求.‎ ‎【详解】设，∴，，，‎ 在中，‎ ‎，因为为三角形的内角，‎ ‎∴.‎ 在中，由正弦定理知.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．‎ ‎7.已知数列为等差数列，前项和为，且则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为数列为等差数列且，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.‎ ‎8.在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为　　‎ A 4+2 B. 4﹣2 C. 1 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ 先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得．‎ ‎【详解】解：由已知可得：，解得：，‎ 又，由正弦定理可得：，‎ 由余弦定理：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎．‎ 故选：．‎ 点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．‎ ‎9.等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，即，从而可求，由等差数列的前项和公式可求.‎ ‎【详解】解：由已知可得，， ∴ ∴或， 由等差数列的前项和公式可得，‎ 或. 故选：C.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题.‎ ‎10.已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则数列的公比q大小是（ ）‎ A. 1 B. C. 1或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，成等差数列，列式计算．‎ ‎【详解】∵，，成等差数列，∴，即，‎ ‎，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项定义，掌握等比数列通项公式是解题关键．本题没用等比数列的前项和公式，否则需要讨论是否为1．‎ ‎11.已知的三个内角所对的边分别为，的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据正弦定理得到 ‎，根据余弦定理得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】的外接圆的面积为 则 - 16 -‎ ‎，根据正弦定理： ‎ 根据余弦定理：‎ 故为最长边： ‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎12.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）‎ A. 32 B. 31 C. 30 D. 29‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ - 16 -‎ ‎13.在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为4，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由正弦定理得：，又，得：，所以，故填.‎ ‎14.等比数列中，＝2，q＝2，＝126，则n＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列公式计算得到答案.‎ ‎【详解】＝2，q＝2，故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据余弦定理的推论求解即可.‎ ‎【详解】解:由余弦定理,‎ 可得,‎ - 16 -‎ 解得,（舍）,‎ 所以．‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查已知三角形的两边和任意一角,利用余弦定理求解三角形的第三边,是基础题.‎ ‎16.等差数列，的前项和分别为，，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质可得，结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，‎ 由等差数列的性质，可得，‎ 又，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质与前项和公式，即可得出结果.‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前项和.‎ - 16 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，从而.由此能求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，求出，再分组求和即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差是.‎ 由已知，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 得 ，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和前项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.‎ ‎18.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ - 16 -‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设等差数列公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎19.如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ - 16 -‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，由正弦定理，得，即可作出证明；‎ ‎（2）由（1）得，得到，所以，，即可求解的值.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 由正弦定理，得，‎ ‎ 所以． ‎ ‎ （2）解：由（1）得，， ‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 化简，得． ‎ 又，所以，所以，， ‎ ‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ - 16 -‎ ‎20.已知数列前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用与的关系求数列的通项公式；（2）由题意易得：，显然问题转化为等比数列的前项和问题.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，故当时，，‎ 两式相减得，‎ 又由题设可得，‎ 从而的通项公式为：；‎ ‎（2）记数列的前项和为，‎ 由（1）知，‎ 所以.‎ ‎21.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）若b＝，C＝120°，求△ABC的面积S ‎（2）若b：c＝2：3，求 ‎【答案】（1）18，（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ ‎（1）由，利用正弦定理，得，进而求得，利用三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎（2）由（1）得，利用余弦定理，求得的值，即可化简求得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，∴． ‎ ‎∵，∴，∴． ‎ ‎（2）∵，，∴，‎ 故可设，， ， ‎ 则， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎22.设为正项数列的前项和,且满足．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）令,,若恒成立,求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用的关系式即可求出通项公式.‎ ‎（2）由（1）知,利用裂项相消求和即可.‎ - 16 -‎ ‎【详解】解:（1）由题可知, 正项数列满足 当,有,即,‎ 解得或（舍）,‎ 当时,,也有,‎ 两式相减得,,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴是以4为首项,3为公差的等差数列,∴．‎ ‎（2）由（1）知,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 即．‎ ‎【点睛】本题考查利用的关系式求通项公式,考查裂项相消求和,是中档题.‎ ‎ ‎ - 16 -‎ - 16 -‎