2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省阆中中学高一下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用，考查特殊角的三角函数值．‎ ‎2．等差数列的前项和，若，则( )‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎3．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝(　 　)‎ A．(－2，－4) B．(2，4) C．(6，10) D．(－6，－10)‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用平面向量的线性运算进行求解．‎ 详解：由题意，得 ‎．‎ 点睛：本题考查平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎4．已知等差数列中，，（ ）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴‎ ‎∴‎ 故选：B ‎5．在中，， 则这个三角形的最大内角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角满足 ‎【考点】余弦定理解三角形 ‎6．在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是(　 　)‎ A．＝(0，0)，＝(1，2) B．＝(－1，2)，＝(5，－2)‎ C．＝(3，5)，＝(6，10) D．＝(2，－3)，＝(－2，3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量的坐标运算，计算判别即可．‎ ‎【详解】‎ 根据，‎ 选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则 3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；‎ 选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．‎ 选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．‎ 选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标运算，根据 列出方程解方程是关键，属于基础题．‎ ‎7．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2θ﹣sin2θ的值，所求式子利用平方差公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系整理后将cos2θ﹣sin2θ的值代入计算即可求出值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，‎ ‎∴sin4θ﹣cos4θ＝（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）＝﹣（cos2θ﹣sin2θ）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角的余弦函数公式，考查学生的计算能力，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎8．已知O是△ABC所在平面上的一点，若= , 则O点是△ABC的( )‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎【答案】C ‎【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，可得，又，从而可得，即AG是BC边上的中线，同理可证BO，CO的延长线也为△ABC的中线，即O为三角形ABC的重心．‎ ‎【详解】‎ 解：作BD∥OC，CD∥OB，连结OD，OD与BC相交于G，则BG＝CG，（平行四边形对角线互相平分），‎ ‎∴，‎ 又∵，可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，‎ 同理：BO，CO的延长线也为△ABC的中线．‎ ‎∴O为三角形ABC的重心．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的基本运算，同时考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎9．已知数列{}的前n项和满足：，且＝1，那么＝(　 　)‎ A．1 B．9 C．10 D．55‎ ‎【答案】A ‎【解析】a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.‎ ‎10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,则角B的值为( )‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：变形为为或 ‎【考点】余弦定理 ‎11．函数的最小值和最大值分别为（ ）‎ A．－3，1 B．－2，2 C．－3， D．－2，‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以当时，；当时，，故选C．‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换及应用．‎ ‎12．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得.由已知可得，‎ 故的最小正周期.由，知这两个值恰好一个为最小值-3，另一个为最大值1，故，当k=1时，.‎ 故选：B 二、填空题 ‎13．已知，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由于，所以，‎ ‎【考点】二倍角的正弦公式 ‎14．在等差数列{}中，已知＝16，则该数列前11项和＝___________‎ ‎【答案】88‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴．‎ ‎【考点】等差数列的性质、等差数列的前n项和．‎ ‎15．已知， 是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若 ·＝0，则实数k的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，，‎ 所以即为 ‎16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把…这样的数称为“三角形数”， 而把 ‎… 这样的数称为“正方形数”．如图,可以发现任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①；②；③；④中符合这一规律的等式是________．（填写所有正确结论的编号）‎ ‎ ……‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】通过已知的等式，找出规律，判断①②③④是否满足规律即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知条件可得如下规律等式 ‎ 4＝1+3，‎ ‎ 9＝3+6，‎ ‎ 16＝6+10，‎ ‎25＝10+15，‎ ‎36＝15+21‎ ‎49＝21+28‎ ‎64＝28+36，‎ ‎81＝36+45，．．‎ 故答案为①③④‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ 三、解答题 ‎17．已知. ‎ ‎ （Ⅰ）求的值 ；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角差的正切公式展开，代入已知条件即可求出（Ⅱ）由求出，利用二倍角公式可得的值 试题解析：（1）4分 ‎（2）① 8分 又②‎ 由①②得12分 ‎14分 ‎【考点】1.同角间的三角函数；2.两角和差的正切；3.二倍角公式 ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知向量 ，＝(sin x，cos x)， x∈ .‎ ‎ （1）若⊥，求tan x的值；‎ ‎ （2）若与的夹角为，求x的值．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，，则，结合三角函数的关系式即可求出的值。‎ ‎（2）本题考察的向量的数量积的问题，若向量与向量的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求出的值。‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知∵，∴‎ 由数量积坐标公式得∴，∴‎ ‎（Ⅱ）∵与的夹角为 ‎，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，即．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算 ‎19．数列满足： ．‎ ‎ （1）令，求证：数列为等差数列；‎ ‎ （2）求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）把已知数列递推式两边同时除以n（n+1），可得数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；‎ ‎（2）由（1）结合等差数列通项公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得，‎ 即，‎ 所以是以为首项，1为公差的等差数列.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列递推式，考查了等差数列的定义及通项公式，属于基础题.‎ ‎20．设向量＝(sin x，sin x)，＝(cos x，sin x)， ‎ ‎（1）若||＝||，求x的值；‎ ‎（2）设函数f(x)＝·，求f(x)的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)直接化简得到，解方程即得x的值.(2)先求出f（x）=,再利用不等式的性质和三角函数的图像性质求出函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得 ‎，‎ 又因为所以.又所以 ‎（2）函数 ‎ ‎ ‎ 因为所以，故，, 即的最大值为 ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.‎ ‎21．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3.‎ ‎ （1）求cos A的值；‎ ‎ （2）若△ABC的面积为45，求△ABC外接圆半径R的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知设，， ，即可求出的值；（2）先利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用三角形的面积公式求出的值，进而利用正弦定理即可得△外接圆半径．‎ 试题解析：（1）解：因为，‎ 所以可设，， ， 2分 由余弦定理得，‎ ‎ 3分 ‎． 4分 ‎（2）由（1）知，，‎ 因为是△的内角，‎ 所以 ． 6分 由（1）知，，‎ 因为△的面积为，所以， 8分 即，‎ 解得． 10分 由正弦定理，即， 11分 解得．‎ 所以△外接圆半径的大小为． 12分 ‎【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形的面积公式；4、正弦定理．‎ ‎22．已知等差数列{}的前n项和为，且＝4，＝－5.‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求的值和的表达式．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)先根据已知条件以及等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程组得到和的值，代入等差数列的通项公式化简求解；(Ⅱ)由可知此数列中的数有正有负，所以要想用等差数列的前项和公式求，就要进行分类讨论. 先求得的值，然后分和两种情况进行讨论，由等差数列的前项和公式求得时的的表达式，再根据时，求解时的的表达式，最后结果写成分段函数的形式.‎ 试题解析：(Ⅰ)等差数列的公差为，则 解得， 3分 则，. 5分 ‎(Ⅱ)当时，；‎ 当时，. 7分 则 . 9分 当时， ；‎ 当时，.‎ 即 . 13分 ‎【考点】1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和公式