【数学】2018届一轮复习人教A版两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

【数学】2018届一轮复习人教A版两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案

‎　‎ ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ ‎4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ 知识点一　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎ ‎1．基本公式 sin(α±β)＝________，‎ cos(α±β)＝________，‎ tan(α±β)＝________.‎ ‎2．公式变形 ‎(1)tanα±tanβ＝________.‎ ‎(2)函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ) ‎.‎ 答案 ‎1．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ∓sinαsinβ　 ‎2．(1)tan(α±β)(1∓tanαtanβ)‎ ‎1．sin75°的值为________．‎ 解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝.‎ 答案： ‎2．已知cosα＝－，α∈，则sin的值是____.‎ 解析：∵cosα＝－，α∈，∴sinα＝，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.‎ 答案： ‎3．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝________.‎ 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)‎ ‎＝－tan20°tan40°，‎ ‎∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.‎ 答案： 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎ ‎1．基本公式 sin2α＝________.‎ cos2α＝________＝________＝________.‎ tan2α＝________.‎ ‎2．有关公式的逆用、变形等 ‎(1)cos2α＝________，sin2α＝________.‎ ‎(2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，‎ ‎1－sin2α＝(sinα－cosα)2，‎ sinα±cosα＝sin.‎ 答案 ‎1．2sinαcosα　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α 　2.(1)　 ‎4．计算：＝________.‎ 解析：＝× ‎＝tan15°＝tan(45°－30°)‎ ‎＝×＝×＝.‎ 答案： ‎5．(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.‎ 解析：由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.‎ 答案：　1‎ 热点一　三角公式的正用与逆用 ‎ ‎【例1】　(1)化简：(0<θ<π)；‎ ‎(2)求值：sin50°(1＋tan10°)．‎ ‎【解】　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，‎ ‎∴＝＝2cos.‎ 又(1＋sinθ＋cosθ) ‎＝ ‎＝2cos＝－2coscosθ.‎ 故原式＝＝－cosθ.‎ ‎(2)sin50°(1＋tan10°)‎ ‎＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)‎ ‎＝sin50°· ‎＝sin50°·＝ ‎＝＝＝1.‎ ‎【总结反思】‎ 三角函数式的化简常用方法 ‎(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．‎ ‎(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一. ‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求tan20°＋4sin20°的值．‎ 解：(1)原式 ‎＝ ‎＝＝tan15°＝tan(45°－30°)‎ ‎＝＝＝＝2－.‎ ‎(2)原式＝＋4sin20°‎ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ 热点二 三角函数式求值 ‎ 考向1　给值求值 ‎【例2】　已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.‎ ‎(1)求sin(α－β)的值；‎ ‎(2)求cosβ的值．‎ ‎【解】　(1)∵α，β∈，从而－<α－β<.‎ 又∵tan(α－β)＝－<0，‎ ‎∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－.‎ ‎(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.‎ ‎∵α为锐角，且sinα＝，∴cosα＝.‎ ‎∴cosβ＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)‎ ‎＝×＋×(－)＝.‎ ‎1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值．‎ 解：∵sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝，cosβ＝，sinβ＝.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－.‎ ‎2．若本例中“sinα＝”变为“tanα＝”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．‎ 解：∵tanα＝，tan(α－β)＝－，‎ ‎∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝.‎ 考向2　给值求角 ‎【例3】　已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．‎ ‎【解】　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tanβ＝－<0，‎ ‎∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.‎ ‎【总结反思】‎ 三角函数求值的3类求法 ‎(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎(2)“给角求值”‎ ‎：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．‎ ‎(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.‎ ‎(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎(2)已知cosα＝－，cos(α＋β)＝，且α∈，α＋β∈，求β的值．‎ 解析：(1)因为cos＝coscosα＋sinsinα＝(sinα＋cosα)＝，所以sinα＋cosα＝，所以1＋sin2α＝，所以sin2α＝－，故选D.‎ ‎(2)解：∵π<α<，<α＋β<2π，∴0<β<π.又cosα＝－，cos(α＋β)＝，∴sinα＝－，sin(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝×＋×＝－，且0<β<π，所以β＝.‎ 答案：(1)D 热点三 三角恒等变换的综合应用 ‎ ‎【例4】　(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsincos－.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(Ⅱ)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎【解】　(Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．‎ f(x)＝4tanxcosxcos－ ‎＝4sinxcos－＝4sinx－ ‎＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(Ⅱ)令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－‎ eq f(π,12)，]．‎ 所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减.‎ ‎【总结反思】‎ 三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质．在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.‎ 已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．‎ 解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，‎ 由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1.‎ 因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝k＋(k∈Z)，‎ 又0<ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.‎ 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由题意可得 g(x)＝2sin，‎ 即g(x)＝2cos，‎ 由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，‎ 又α∈，故<α＋<，‎ 所以sin＝，‎ 所以sinα＝sin＝‎ sin·cos－cos·sin＝×－×＝.‎ 求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．‎ 三角恒等变换中的解题策略 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．‎ 策略1　从角入手，寻找关系好解题 解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．‎ ‎【例1】　已知α为锐角，且cos＝，则sinα＝________.‎ ‎【解析】　解法1：cos＝cosα－sinα＝，①‎ 又sin2α＋cos2α＝1，②‎ 由①可得cos2α＝2，‎ 代入②并整理得100sin2α＋60sinα－39＝0，‎ 解得sinα＝，或sinα＝－(舍)．‎ 解法2：因为α为锐角，即α∈，‎ 所以α＋∈，‎ 则sin＝＝，‎ 所以sinα＝sin ‎＝sincos－cossin＝.‎ ‎【答案】　 ‎【点评】　不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝－这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷．‎ 策略2　从函数名入手，化切为弦助解题 在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．‎ ‎【例2】　求－sin10°.‎ ‎【解】　因为－tan5°＝－ ‎＝＝，‎ 所以原式＝－sin10°· ‎＝－＝－ ‎＝－＝＝.‎ 策略3　从结构入手，存同化异探思路 三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．‎ ‎【例3】　(1)已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tanα；‎ ‎(2)已知cosxcosy＝，求sinxsiny的取值范围．‎ ‎【解】　(1)证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)‎ 得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，‎ 即3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα ‎＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，‎ 整理可得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα.‎ 因为α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，‎ 所以cos(α＋β)·cosα≠0，‎ 则有tan(α＋β)＝2tanα.‎ ‎(2)设p＝sinxsiny，则cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny＝＋p，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny＝－p.‎ 因为|cos(x±y)|≤1，‎ 所以－1≤＋p≤1，且－1≤－p≤1，‎ 解得－≤p≤.‎ ‎【点评】　题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．‎ 策略4　“先化简后求值”与“先局部后整体”‎ ‎“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．‎ ‎【例4】　已知0

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