2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十五等差与等比数列的综合问题苏教版
核心素养测评三十五 等差与等比数列的综合问题
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,则b2(a2-a1)= ( )
A.8 B.-8 C.±8 D.
【解析】选A.由1,a1,a2,9成等差数列,得公差d=a2-a1==,由1,b1,b2,b3,9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=-3时,1,b1,-3成等比数列,
此时=1×(-3)无解,所以b2=3,所以b2(a2-a1)=3×=8.
2.等差数列{an},等比数列{bn},满足a1=b1=1,a5=b3,则a9能取到的最小整数
是 ( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
【解析】选B.等差数列{an}的公差设为d,等比数列{bn}的公比设为q,q≠0,
由a1=b1=1,a5=b3,可得1+4d=q2,
则a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,
可得a9能取到的最小整数是0.
3.已知在等差数列{an}中,a1>0,d>0,前n项和为Sn,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,则 ( )
A.S4>T4 B.S4
1,数列{bn}单调递增,
又S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q-=a1(1-q)+a4=(a4-a1q)
=(b4-b2)>0,所以S4>T4.
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【一题多解】选A.不妨取an=7n-4,则等比数列{bn}的公比q==2,所以S4=54,T4==45,显然S4>T4.
4.(多选)等比数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,Sn+2=4Sn+3恒成立,则a1的值为 ( )
A.3 B.1 C.-3 D.-1
【解析】选BC.设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,Sn+2=(n+2)a1,Sn=na1,由Sn+2=4Sn+3得,(n+2)a1=4na1+3,即3a1n=2a1-3,若对任意的正整数n,3a1n=2a1-3恒成立,则a1=0且2a1-3=0,矛盾,所以q≠1,
所以Sn=,Sn+2=,
代入Sn+2=4Sn+3并化简得a1(4-q2)qn=3+3a1-3q,若对任意的正整数n该等式恒成立,则有解得或
故a1=1或-3.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1 ,2S2,S3成等差数列,则an=________.
【解析】由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.
答案:3n-1
6.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=________.
【解析】设公差为d,因为在等差数列{an}中,a2, a4,a8成等比数列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,因为d≠0,所以d=a1,
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所以==3.
答案:3
7.(2020·镇江模拟)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.
【解析】因为a1,a2,a5成等比数列,则=a1·a5,
即(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2.
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,a8=2×8-1=15,
S8==4×(1+15)=64.
答案:64
8.已知等差数列的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列的前n项和,则的最小值为________.
【解析】依题意:因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,
所以=a1a13,所以(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得d=2.可得an=2n-1,Sn=n2,
则===n+2+-4≥4,当且仅当n=2时,等号成立.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),
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即an+1+bn+1=(an+bn).
又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,
即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.
所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,
bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.
10.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a2=a1+d,a3=a1+2d.
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)
=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5或an=3n-7.
(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
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故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n=1时,S1=|a1|=4;
当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|
=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n2-n+10.
当n=2时,满足此式,当n=1时,不满足此式.
综上,Sn=
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