【数学】山东省威海市2020届高三4月高考模拟考试（一模）试题

【数学】山东省威海市2020届高三4月高考模拟考试（一模）试题

山东省威海市2020届高三4月高考模拟考试（一模）‎ 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越 高.统计改革开放年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭 ‎ B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高 ‎ C.1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于 ‎ D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小 ‎4.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.已知，为第三象限角，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：‎ 焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震与年月日我国汶川发生里氏级地震所释放出来的能量的比值为 A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数的最小正周期为，且其图像向右平移个 单位得到函数的图像，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知点分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对 称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.若为正实数，则的充要条件为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.等差数列的前项和记为，若，，则（ ）‎ A. B. C. D.当且仅当时 ‎11.如图直角梯形，，，，为中 点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.则（ ）‎ A.平面平面 ‎ B. ‎ C.二面角的大小为 D.与平面所成角的正切值为 ‎ ‎12.设函数，则（ ）‎ A.在单调递增 B.的值域为 ‎ C.的一个周期为 D.的图像关于点对称 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知，为单位向量，，且，则________.‎ ‎14.若展开式中的系数为，则________.‎ ‎15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑 中，平面，且，，则该鳖臑外接球的表面积为________．‎ ‎16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规 建造总面积为的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共 间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造 面积为，月租费为万元.全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过 总面积的.①两类店面间数的建造方案为________种.②市场建成后所有店面全部租出，‎ 为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，‎ 则的最大值为______万元.（本题第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角的对边分别是已知，且为锐角.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 记数列的前项和为，已知，.设.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，求.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，.过点做四棱锥的截面，分别交 于点，已知，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，是和的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若为椭圆的右顶点，直线与轴交于点，过点的另一直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，试判断零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若时，，求的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药进行 次动物实验，一次实验方案如下：选取只白鼠对药效进行检验，当只白鼠中有只或只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有只“效果明显”，则再取只白鼠进行二次检验，当只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”,其余情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为（）.‎ ‎（Ⅰ）若,设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若动物实验预算经费万元，对每只白鼠进行实验需要元，其他费用总计为万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由.‎ ‎【参考答案】‎ 一、单项选择题： ‎ ‎1-8C B C C，A A D D ‎ 二、多项选择题： ‎ ‎9-12 BD, ABC, AC, BC 三、填空题：‎ ‎13. ； 14.； 15. 16.， ； ‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 ，---------------2分 解得或（舍），所以. ---------------4分 ‎（Ⅱ）因为的面积为，所以，得. ---------------5分 已知，由正弦定理可得，‎ 所以. ---------------7分 由余弦定理 ---------------8分 得， ---------------9分 所以，的周长为. ---------------10分 ‎ 18.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由得 ---------------1分 两式相减得 ---------------3分 ‎， ---------------5分 数列为公比为的等比数列. ---------------6分 ‎（Ⅱ）由， ---------------7分 ‎ ---------------8分 ‎ ---------------10分 ---------------12分 ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在上取点，且满足， --------------1分 连接，则，且， ---------------2分 因为，所以，且 所以是平行四边形， ---------------3分 所以， ---------------4分 ‎ 又因为平面，平面，所以平面； --------------5分 ‎（Ⅱ）过点做与平行的射线，易证两两垂直，‎ 所以，以为轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，-------6分 ‎ ‎ ‎ 则有 ---------------7分 设平面的法向量为，则 ‎，令，解得 所以是平面的一个法向量 ---------------8分 因为点在上，所以 因为平面，所以，‎ 解得，所以 ‎ 或如下证法：因为平面且平面平面，所以，‎ 所以，因为为中点，所以为中点，所以，‎ 所以， --------------10分 ‎ 设平面的法向量为，则 ‎，令，解得 ---------------11分 所以是平面的一个法向量，， ‎ 所以与平面所成角的正弦值为. ------------------------12分 ‎ ‎20（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为是和的等差中项，所以，得. --------1分 又在椭圆上，所以，所以， --------------------2分 ‎，， ------------------3分 可得椭圆的标准方程为. --------------------4分 ‎（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）计算可知 --------------------5分 当直线与轴垂直时，不合题意. --------------------6分 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为 联立直线与椭圆的方程，可得 ‎ 设 ，由韦达定理可得--------①， ---------7分 由，可得，又，‎ 所以，得， --------------------9分 带入①，可得 所以，解得 --------------------11分 所以直线的方程为 --------------------12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：当时，，. --------------------2分 ‎ 所以在上单调递减， --------------------3分 又有且只有一个零点. ---------------------4分 ‎（Ⅱ），. ---------------------5分 ‎（1）当时，在上恒成立，在上单调递增，，不符合题意. ---------------------6分 ‎（2）当时，设，‎ 当即时，恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 在上单调递减，，符合题意，. -----------8分 ‎ ‎ 当即时，有两不等实根，设为 因为，可知，‎ 所以时，时 即在区间上单调递增，单调递减 ---------------10分 所以，不符合题意. -------------11分 综上，的取值范围为. ---------------------12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当时，一次检验就取得“实验成功”的概率为 ‎； ------------------------2分 经过两次检验才取得“实验成功”的概率为 ‎； ------------------------4分 在一次实验方案中“实验成功”的概率为. ------------------------5分 ‎（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为元，则的可能值为. ----6分 ‎；. ----------------7分 所以，--------8分 设，则，‎ 当时，，所以在上单增；‎ 当时，，所以在上单减.‎ 所以的最大值为， ------------------------10分 因此实施一次此方案最高费用为元 ------------------------11分 所以动物实验阶段估计最高试验费用为万元，因为，所以该阶段经费使用不会超出预算. ------------------------12分 ‎ ‎