数学理卷·2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考（2017

数学理卷·2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考（2017

洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.如图，圆：内的正弦曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.设，，，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.图中的程序框图所描述的算法，若输入，，则输出的的值为（ ）‎ A．0 B．11 C．22 D．88 ‎ ‎7.在等比数列中，，是方程的根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎8.已知点是锐角三角形的外心，若（，），则（ ）‎ A． B．C． D． ‎ ‎9.设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎ ‎10.已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数是周期函数且最小正周期为 ‎ B．函数是奇函数 C．函数在区间上的值域为 D．函数在是增函数 ‎ ‎12.已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，满足条件则的取值范围是 ．‎ ‎14.已知随机变量，，若，，则 ．‎ ‎15.已知（，为常数，）的展开式中不含字母的项的系数和为243，则函数，的最小值为 ．‎ ‎16.已知数列满足，其中，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在中，点在边上，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积是，求．‎ ‎18.如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，的如图2所示的几何体． ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎19.随着移动互联的快速发展，基于互联的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．‎ ‎（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合阅读市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；‎ ‎（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两单车使用寿命频数如表：‎ 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？‎ 参考公式：回归直线方程为，其中，．‎ ‎20.如图，点是抛物线：（）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若函数有三个不同的极值点，求的值；‎ ‎（2）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．‎ ‎（1）求直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，，．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在实数，，使，求实数的取值范围．‎ 洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，因为，，，‎ 由余弦定理得，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以是等边三角形，‎ 所以．‎ ‎（2）由于是的外角，所以，‎ 因为的面积是，所以，‎ 所以，‎ 在中，，‎ 所以．　‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎18.（1）证明：因为平面平面，平面平面，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为折叠前后均有，，‎ 所以平面．　‎ ‎（2）解：由（1）知平面，所以二面角的平面角为．‎ 又平面，平面，所以．‎ 依题意，‎ 因为，所以，‎ 设（），则，‎ 依题意，所以，即，‎ 解得，故，，．‎ 因为平面，过点作交于，则平面，‎ 因为平面，所以，‎ 过点作于，连接，‎ 所以平面，因此，‎ 所以二面角的平面角为，‎ 由平面几何知识求得，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（1）由数据计算可得，‎ ‎，‎ 由公式计算可得，，‎ 所以月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为，‎ 当时，，‎ 故公司2017年4月份的市场占有率预计为．‎ ‎（2）由频率估计概率．‎ 每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，‎ 所以每辆款车可产生的利润期望值为 ‎（元），‎ 由频率估计概率．‎ 每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，‎ ‎∴每辆款车可产生的利润期望值为 ‎（元），‎ ‎∴，‎ ‎∴应该采购款单车．‎ ‎20.解：（1）设，由题知，所以，‎ 所以代入（）中得，即，‎ 所以抛物线的方程是．‎ ‎（2）过作轴平行线交于点，并设，，‎ 由（1）知，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 直线：，直线：，解得 因直线方程为，将代入得，‎ 所以．‎ ‎21.解：（1），‎ 令，则方程有三个不同的根，‎ 又，‎ 令，得或，‎ 且在区间，递增，在区间递减，‎ 故问题等价于即有解得．‎ ‎（2）不等式，即，即，‎ 转化为存在实数，使对任意的，‎ 不等式恒成立，‎ 即不等式在上恒成立，‎ 即不等式在上恒成立．‎ 设，则，‎ 设，则，‎ 因为，有，故在区间上是减函数，‎ 又，，，‎ 故存在，使得，‎ 当时，有，当时，有，‎ 从而在区间上递增，在区间上递减．‎ 又，，，，，，‎ 所以当时，恒有；当时，恒有．‎ 故使命题成立的正整数的最大值为5．‎ ‎22.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 将，代入上式并化简得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，于是，，‎ 直线的普通方程为，将代入直线方程得，‎ 所以直线的普通方程为．‎ ‎（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），‎ 所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），‎ 此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ ‎23.解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴且．　‎ ‎①若，则，∴；‎ ‎②若，则，∴，此时无解；‎ ‎③若且，则，∴，‎ 综上所述，的取值范围为或，即.‎ ‎（2）∵，显然可取等号，‎ ‎∴，‎ 于是，若存在实数，，使，只需，‎ 又，‎ ‎∴，∴，∴，即．‎