2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 江西省南昌市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线y2＝－12x的准线方程是( )‎ A． x＝－3 B． x＝3 C． y＝3 D． y＝－3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上，且p=6，由准线方程计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，‎ 其焦点在x轴负半轴上，且p=6，‎ 则其准线方程为x=3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法．‎ ‎2．当时，方程所表示的曲线是（ ）‎ A． 焦点在轴的椭圆 B． 焦点在轴的双曲线 C． 焦点在轴的椭圆 D． 焦点在轴的双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简方程得，即得曲线是焦点在轴的双曲线.‎ ‎【详解】‎ 化简得，因为ab＜0,所以＞0，所以曲线是焦点在轴的双曲线.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3．若以双曲线（）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于（　 ）‎ A． B． 1 C． D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）•（1+c，）=0，求出c，即可求出b．‎ ‎【详解】‎ 由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，‎ ‎∴（1﹣c，）•（1+c，）=0，‎ ‎∴1﹣c2+2=0，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵a=，‎ ‎∴b=1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．‎ ‎4．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）‎ A． （1，1） B． C． D． （2，4）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线y=x2上一点为A（x0，），点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 设抛物线y=x2上一点为A（x0，），‎ 点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，‎ ‎∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查二次函数的最值，属于基础题.‎ ‎5．圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则( )‎ A． B． 4 C． 2 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，‎ 可得：x2+y2=4x，配方为：（x﹣2）2+y2=4．‎ 圆心为C（2，0），‎ 点P的极坐标为（4，），化为直角坐标．‎ 则|CP|=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6．P是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向的外角平分线作垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹为( )‎ A． 直线 B． 圆 C． 双曲线 D． 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．可得MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．连接OQ，利用三角形中位线定理、椭圆与圆的定义即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设F2Q交F1P于点M，由已知可得：PQ⊥F2M，∠F2PQ=∠MPQ．‎ ‎∴MP=F2P，点Q为线段F2M的中点．‎ 连接OQ，则OQ为△F1F2M的中位线，∴．‎ ‎∵MF1=F1P+F2P=2a．‎ ‎∴OQ=a．‎ ‎∴Q点的轨迹是以点O为圆心，a为半径的圆．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质定理、三角形中位线定理、椭圆与圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．设椭圆（）的离心率为，右焦点F（c，0），方程的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）在( )‎ A． 圆内 B． 圆上 C． 圆外 D． 以上三种都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵椭圆的离心率 ‎ ，又该方程两个实根分别为，‎ ‎ ．‎ ‎∴点P在圆的内部．‎ 考点：1．椭圆的简单性质；2．点与圆的位置关系 ‎8．过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，与双曲线的渐近线方程为，由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，且，所以可设直线方程为：，设，则，由可得，所以，由得或 ‎（舍去），所以抛物线方程为，故选A.‎ 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可.‎ ‎9．已知圆是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设点， 根据，因为三点在同一条竖直的线上故得到，是圆上任意一点，将点坐标代入得到 ‎ 故答案为：B。‎ ‎10．分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）‎ A． 8 B． C． D． 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，即可求出△BF1F2的面积．‎ ‎【详解】‎ 因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，‎ A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，‎ B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，‎ 在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，‎ 得c2=7a2，‎ 在双曲线中：c2=a2+b2，b2=24‎ ‎∴a2=4‎ ‎∴△BF1F2的面积为==2×4=8．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎11．在直角坐标系中,抛物线的焦点为,准线为，点是准线上任一点，直线交抛物线于，两点，若，则的面积( )‎ A． 4 B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线PF的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 不妨设B在x轴上方，直线PF的倾斜角为α，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴由抛物线的定义，可得cosθ=，‎ ‎∴tanθ=2‎ ‎∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=2（x﹣1），即x=y+1，‎ 代入y2=4x，可得y2﹣y﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4，‎ ‎∴|y1﹣y2|==3，‎ ‎∴S△AOB==．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎12．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：直线的方程为，与双曲线渐近线的交点为，与双曲线在第一象限的交点为，所以，，由得，解之得，所以，，故选A.‎ 考点：双曲线几何性质、向量运算.‎ 视频 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．点关于直线的对称点是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y） ‎ 则MN中点的坐标为（，），‎ 利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，‎ 解得：x=2，y=﹣2，‎ ‎∴点N的坐标（2，﹣2），‎ 故答案为（2，﹣2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标．‎ ‎14．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆 相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为_____.‎ ‎【答案】－＝1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：圆C：x2＋y2－6x＋5＝0,是以（3,0）为圆心，2为半径的圆，可知双曲线中的c=2，双曲线的渐进性方程为：根据题意点（3,0）到渐近线 的距离为2，运用点到直线的距离公式可得 故双曲线方程为－＝1.‎ 考点：双曲线的几何性质.‎ ‎15．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，轴，则b的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示：设，由焦半径公式可得，因为，所以，即，因此，由可得，可得，所以，应填.‎ 考点：1、椭圆；2、焦半径公式.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于椭圆的焦半径的问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先根据轴，推出点的横坐标，再根据焦半径公式表示出的长，同样的方法表示出的长，利用，就可以求出的值，进而得到椭圆的方程，从而使问题得到解决.‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的长半轴为a1，双曲线的半实轴长为a2，它们公共的焦距为2c，|PF2|=n，根据椭圆与双曲线的定义建立方程组解出a1=5+c且a2=5﹣c，得到双曲线的离心率为∈（1，2），由此解出c的范围再代入椭圆离心率的表达式，利用不等式的性质加以计算，可得该椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 如图，设椭圆的长半轴为a1，双曲线的半实轴长为a2，‎ 它们公共的焦距为2c，|PF2|=n，‎ ‎∵|PF1|=10，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．‎ ‎∴由椭圆与双曲线的定义，得，解之得，‎ ‎∵双曲线的离心率的取值范围为（1，2），∴1＜＜2，‎ 设=x，可得c=，‎ 从而得到椭圆的离心率e===﹣．‎ 由1＜x＜2，可得＜﹣＜，即＜﹣＜．‎ 即该椭圆的离心率的取值范围是（，）．‎ 故答案为：（，）‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解． ‎ ‎4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用,‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知的三个顶点为、、.‎ ‎（1）求过点A且平行于BC的直线方程；‎ ‎（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】分析：（1）利用斜率公式可求得直线的斜率，利用点斜式即可求得过点且平行于的直线方程； （2）依题意，所求直线斜率存在，设过点的直线方程为．利用点 到直线距离相等，可求，则方程可求.‎ 详解：‎ ‎（1）直线BC斜率 ‎ 过点A与BC平行直线方程为，即 ‎（2）显然，所求直线斜率存在 设过点B的直线方程为，即 ‎ 由，解得或 故所求的直线方程为或 即 或 点睛：本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．‎ ‎18．在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值． （2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，可得,∴，‎ 圆心(0,0)到直线的距离为 ‎∴．‎ ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即．‎ ‎19．已知动圆与定圆内切，与直线相切. ‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若是上述轨迹上一点，求到点距离的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设动圆圆心 ，那么动圆圆心到直线的距离 和到定圆圆心的距离相等，得到圆心的轨迹方程；（Ⅱ）根据两点间距离得到 ，根据（Ⅰ）的结论可知函数的定义域 ，所以讨论对称轴和定义域的关系，得到函数的最小值.‎ 试题分析：（Ⅰ）设动圆的圆心，‎ ‎∵动圆与定圆内切，与直线相切，‎ ‎∴，‎ 化简得．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ ‎∴ ．‎ 当时，时上式取得最小值，即取得最小值；‎ 当时，时上式取得最小值，即取得最小值．　‎ ‎∴‎ ‎20．设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不 同的点，且（O为原点）．‎ ‎（1）判断是否为定值，并说明理由；‎ ‎（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为定值5．将直线y=2x﹣1与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理即可得到定值；‎ ‎（2）运用双曲线的离心率公式和（1）的结论，解不等式即可得到所求实轴的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为定值5．‎ 理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，‎ 可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2=0，（b≠2a），‎ 即有△=16a4+4（b2﹣4a2）（a2+a2b2）＞0，‎ 化为1+b2﹣4a2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得 x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，‎ 即5•﹣2•+1=0，‎ 化为5a2b2+a2﹣b2=0，即有=5，为定值． ‎ ‎（2）由双曲线离心率时，‎ 即为＜＜，即有2a2＜c2＜3a2，‎ 由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，‎ 由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，‎ 则双曲线实轴长的取值范围为（0，）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21．为抛物线的焦点，过点的直线与交于、两点，的准线与轴的交点为，动点满足．‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）当四边形的面积最小时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；‎ ‎（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．‎ 设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．‎ 联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．‎ ‎∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．‎ ‎∵=+=2，∴M为EP的中点．‎ ‎∴，∴，即y2=4x﹣12．‎ ‎∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．‎ ‎（2）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．‎ ‎∴|AB|===4（m2+1）．‎ E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，‎ ‎∴S△ABE=•|AB|•d=4，‎ ‎∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，‎ ‎∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．‎ ‎∴当m=0时，S取得最小值8．‎ 此时直线l的方程为x﹣1=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质，轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、．‎ ‎（1）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，证明为定值；‎ ‎（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；‎ ‎（2）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；‎ ‎（3）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，椭圆离心率为=，‎ 得，又2a+2c=，‎ 所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ 所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），‎ 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，‎ 所以该双曲线的标准方程为． ‎ ‎（2）设点P（x0，y0），‎ 则k1=，k2=，‎ ‎∴k1•k2==，‎ 又点P（x0，y0）在双曲线上，‎ ‎∴，即y02=x02﹣4，‎ ‎∴k1•k2==1． ‎ ‎（3）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，‎ 则由（2）知k1•k2=1，‎ ‎∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），‎ 由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由韦达定理得，，‎ ‎∴AB==，‎ 同理可得CD===，‎ ‎∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，‎ ‎∴λ==﹣==，‎ ‎∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．‎ ‎【点睛】‎ 解决解析几何中探索性问题的方法 存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎