2020届四川泸县一中高三下学期第一次在线月考数学（理）试题（解析版）

2020届四川泸县一中高三下学期第一次在线月考数学（理）试题（解析版）

‎2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试理科数学 一、选择题： ‎ ‎1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（　　）‎ A. {0，1} B. {﹣1，0} C. {﹣1，0，1} D. {0，1，2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，进而求交集即可.‎ ‎【详解】由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}， ‎ ‎∵A={-1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}， ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.若，均为实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的乘法运算，化简得，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此，则.‎ 故选C ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎3.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量的加法法则运算即可.‎ ‎【详解】如图，过E作 由向量加法的平行四边形法则可知 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.‎ ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，a4=2，则S6=（　　）‎ A. 0 B. 10 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．‎ ‎【详解】数列{an}等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，‎ 所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于轴对称，排除；根据时，，排除，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】定义域为，且 为偶函数，关于轴对称，排除；‎ 当时，，，可知，排除.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除.‎ ‎6.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎7.已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．‎ ‎【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2‎ 故cos，sin ‎∴sin cos.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得 s＝3，i=1‎ 满足条件i，执行循环体s＝3+，i=2‎ 满足条件i，执行循环体s＝3++，i=3，‎ 满足条件i，执行循环体，s＝3++，i=4，‎ 不满足条件i退出循环，输出s值为s＝．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎9.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分甲和另一个人一起分到A班有，甲一个人分到 A班的方法有：，加到一起即为结果.‎ ‎【详解】甲和另一个人一起分到A班有=6种分法，甲一个人分到 A班的方法有：=6种分法，共有12种分法；‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】解答排列、组合问题的角度：‎ 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．‎ ‎(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；‎ ‎(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；‎ ‎(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；‎ ‎(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎10.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间．‎ ‎【详解】由题意知，故向右平移个周期，即向右平移 个单位，所以，‎ 令 ，‎ 所以 ，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的平移变换，求正弦型函数的单调区间，属基础题．‎ ‎11.若直线是曲线的一条切线，则实数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m，2lnm+1）， 则函数的导数 ，则切线斜率， 则对应的切线方程为 ‎ 即 ‎ ‎ 且， 即 ，则 ， ‎ 则， 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据的单调性得出结论．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 在上单调递增，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，即 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知实数满足条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 如图，过点时，‎ ‎14.展开式中的系数为__________.‎ ‎【答案】210‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 据此可得：只有中含有，‎ 结合二项式定理可得其系数为：.‎ ‎15.等比数列中，,函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数，，则，故答案为.‎ ‎16.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球 ‎∵是边长为的正三角形 ‎∴的外接圆半径， ‎ 设球的半径为，因为面， ,‎ 所以，‎ ‎∴外接球的表面积为，‎ 故答案为 点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ 三、解答题：‎ ‎17.在中，角所对的边分别是满足：，且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小；‎ ‎(Ⅱ)若,判断三角形的形状.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）三角形是等边三角形 ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)根据诱导公式以及两角和的余弦公式化简，可得，再由结合正弦定理，求得，根据不是最大边，可得为锐角，从而求得的值；(Ⅱ)由条件可得，，结合，可求得，从而得三角形为等边三角形.‎ 试题解析：(Ⅰ),‎ 因为 ‎,‎ 又,‎ 而成等比数列，所以不是最大，‎ 故为锐角，所以.‎ ‎(Ⅱ)由,则,‎ 利用正弦定理可得,‎ 又因为,所以,‎ 所以三角形是等边三角形.‎ ‎18.已知某产品历史收益率的频率分布直方图如图所示.‎ ‎ ‎ ‎（1）试估计该产品收益率的中位数；‎ ‎（2）若该产品的售价（元）与销量（万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：‎ 售价（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 根据表中数据算出关于的线性回归方程为，求的值；‎ ‎（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过6万份的组数为，求的分布列及期望.‎ ‎【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎(1)利用频率分布直方图结合中位数的性质可估计该产品收益率的中位数是0.28；‎ ‎(2)利用回归方程过样本中心点可得；‎ ‎(3)由题意结合超几何分布的公式可求得分布列，然后求解数学期望可得X的期望为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，设中位数为，，解得.‎ ‎（2），，‎ ‎∴.‎ ‎（3）的可能取值为0,1,2，故 ，，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故.‎ ‎19.四棱锥中，底面为菱形，,为等边三角形 ‎ ‎ ‎（1）求证： ;‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析(2)0‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）取中点，连结，，由已知可得，，又，即可证平面，从而可得；（2）求出和的值，可推出，即可证，然后建立以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，根据二面角与其法向量夹角的关系，即可得答案.‎ 试题解析：（1）证明：取中点，连结，‎ ‎∵为菱形，‎ ‎∴ 为等边三角形 ‎ ∴ ‎ ‎∵ 为等边三角形 ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎(2) ∵为等边三角形，边长为2‎ ‎ ∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ 如图，以，，为，，轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ 则 ‎ 设平面的法向量为，则,‎ ‎ 取，则 ‎ 设平面的法向量为 ‎,‎ 取，则设二面角的平面角为 ‎∴，则二面角的余弦值等于0 ‎ 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量；‎ ‎（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，焦距为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）由题意可得 ，解得，‎ 又，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，,‎ 由，消去，得 ‎ 则，且， ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 即直线，，的斜率依次成等比数列.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎21.设函数，‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若在内有极值点，当，，求证：.‎ ‎【答案】（1）增区间为：，.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出的导数，令，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数，，根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，当时，，‎ 令：，得：或，所以函数单调增区间为：，.‎ ‎（2）证明：，‎ 令：，‎ 所以：，，若在内有极值点，‎ 不妨设，则，且，‎ 由得：或，‎ 由得：或，‎ 所以在递增，递减；递减，递增，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 所以：‎ ‎，.‎ 设：，，则 所以：是增函数，所以.‎ 又：，‎ 所以：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题以及不等式的证明，属于难题．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线普通方程为曲线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的参数方程中的t消掉得到曲线的普通方程，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，能求出C2的直角坐标方程．‎ ‎（2）将代入，得，利用直线参数的几何意义结合韦达定理，能求出．‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），两式相加消去t可得普通方程为；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 曲线极坐标方程为转化为直角坐标方程为 ‎（2）把曲线的参数方程为（为参数），代入得，‎ 设，是对应的参数，则，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查了普通方程与参数方程、极坐标方程的相互转化，考查直线参数方程中参数的几何意义及应用，是中档题．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过和两个点进行分段，分别在三段范围内进行讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：；法一：设，利用，可得，从而推得，求得最大值；‎ 法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；‎ 法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）①当时， ‎ ‎②当时， ‎ ‎③当时， ‎ 综上：的解集为 ‎（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 即 又且 则，设 ‎ ‎ 同理：，‎ ‎，即 当且仅当时取得最大值 法二：由（Ⅰ）可知 即 又且 当且仅当时取得最大值 法三：由（Ⅰ）可知 即 ‎ ‎ 由柯西不等式可知：‎ 即：‎ 当且仅当即时，取得最大值 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式部分最值问题的关键是配凑出符合基本不等式或柯西不等式的形式，从而求得结果.‎