2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学（文） 解析版

2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学（文） 解析版

绝密★启用前 广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学（文)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，设，则集合的元素个数为( )‎ A．9 B．8 C．3 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出集合A,由交集运算得到集合C，从而得到元素个数.‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ 则，集合C的元素个数为2，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2．设，则=（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因，故，所以应选B.‎ 考点：复数及模的计算．‎ ‎3．下列全称命题中假命题的个数是(　 ) ‎ ‎①是整数；②对所有的，；③对任意一个，为奇数．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当x=时①错；当x=0时②错；所以①②是假命题。‎ 对任意一个x∈Z，∵2x2是偶数，∴③是真命题．即假命题有2个，选C．‎ 考点：本题主要考查全称命题真假判断。‎ 点评：要判断一个全称命题是真命题，我们要有一个严格的论证过程，但要说明一个全称命题是一个假命题，只需要举出一个反例即可。此类题综合性较强，主要涉及知识面广。‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数和对数函数图像的性质即可判断出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 指数函数y=在R上单调递增，故a=20.6＞20＝1，‎ 对数函数y=在上单调递增，则0＜b=logπ3＜1，‎ 对数函数y=在上单调递增，则；‎ ‎∴c＜b＜a．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间；二是利用函数的单调性直接解答；‎ ‎5．某公司2013—2018年的年利润(单位：百万元)与年广告支出(单位：百万元)的统计资料如表所示：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 利润 ‎12.2‎ ‎14.6‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎20.4‎ ‎22.3‎ 支出 ‎0.62‎ ‎0.74‎ ‎0.81‎ ‎0.89‎ ‎1.00‎ ‎1.11‎ 根据统计资料，则 (　　)‎ A．利润中位数是16，与有正相关关系 B．利润中位数是17，与有正相关关系 C．利润中位数是17，与有负相关关系 D．利润中位数是18，与有负相关关系 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，利润中位数是，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中位数的求法，如果样本容量是奇数中间的数就是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数就是中位数.‎ ‎6．过点引圆的切线，则切线长是 ( )‎ A．3 B． C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点P的距离d，根据圆的半径r，即可求出切线长．‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，‎ 圆心（1，2）到点 的距离d＝；圆的半径r＝2，‎ ‎∴切线长为l＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，过点 向圆作切线PM（M为切点），则切线长.‎ ‎7．已知非零向量，若，则与的夹角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为θ，这样根据 即可求出cosθ，进而得出θ的值．‎ ‎【详解】‎ 因 ‎∴t=4；‎ ‎∴，，‎ 设与的夹角为θ，则：，‎ ‎∴‎ 故答案为：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎8．执行如下图的程序框图，那么输出的值是( )‎ A．2 B．1 C． D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k和S值，根据题意即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 程序运行如下，k=0, S＝＝﹣1，‎ k＝1，S＝＝；‎ k＝2，S＝；‎ k＝3，S＝＝-1…‎ 变量S的值以3为周期循环变化，当k=2018时，s=2，‎ K=2019时，结束循环，输出s的值为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．‎ ‎9．点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为.‎ ‎①的最小正周期是；‎ ‎②的值域为；‎ ‎③的初相为；‎ ‎④在上单调递增.‎ 以上说法正确的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点P（﹣，1）是函数f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m＝1，ω•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z．‎ ‎∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，∴ω＝2，‎ ‎∴φ＝kπ+, k∈Z，又|φ|＜∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）+1．‎ 故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；‎ ‎③f（x）的初相φ为，正确；‎ ‎④在[，2π]上，2x+∈[，]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣，]时的单调性相同，故函数f（x）单调递增，故④正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎10．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：的概率为,故选A.‎ 考点：几何概型.‎ ‎11．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题转化为（x+）min＜m2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵不等式x+ m2+3m有解，‎ ‎∴（x+）min＜m2﹣3m，‎ ‎∵x＞0，y＞0，且，‎ ‎∴x+＝（x+）（）＝＝4，‎ 当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，‎ ‎∴（x+）min＝4，‎ 故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0，‎ 解得m＜﹣4或m＞1，‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．‎ ‎12．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．‎ ‎【详解】‎ 如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，‎ 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，‎ ‎4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ‎∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，‎ ‎∴≥2 ‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知双曲线的焦距为，点在双曲线的渐近线上，则双曲线的方程为__________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得c，即有a2+b2，由点P在渐近线上，可得a＝2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的焦距为，‎ 可得2c＝，即c＝，即有a2+b2＝125，‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，点在双曲线的渐近线上，‎ 可得a＝2b，解得a＝10，b＝5，‎ 得到双曲线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知复数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的商的运算计算得到复数的共轭复数，从而得到复数z.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则复数z=2-i,‎ 故答案为：2-i ‎【点睛】‎ 本题考查复数的商的运算及共轭复数的概念，属于简单题.‎ ‎15．已知函数，若函数的图象在处的切线方程为，则实数___________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数f(x)求导，由切线斜率为1，可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝，则导数,‎ 由函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为y＝x+b可知, ‎ 解得a＝﹣2，‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义的应用，利用曲线在某点处的切线的斜率等于函数在这点处的导数解决问题.‎ ‎16．已知数列的前项和为，，且，则数列的通项公式为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，写出，利用两式作差得到，然后利用累乘法可求出数列的通项.‎ ‎【详解】‎ 数列的前项和为，且当n≥2时，，①‎ 则有，②‎ ‎②-①得： ，整理得（n≥2），‎ 则当n≥3时有，‎ 解得（n≥3）,‎ 检验：当n=2时，满足上式，‎ 当n=1时，不满足上式，‎ 则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由数列的递推关系式求数列的通项，考查累乘法求通项，考查计算能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贷款(亿元)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎(1)将上表进行如下处理：，‎ 得到数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 试求与的线性回归方程，再写出与的线性回归方程.‎ ‎(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额. ‎ 参考公式：, ‎ ‎【答案】（1）；（2）108亿元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用题目中数据求出a和b,即可得z=bt+a,将t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入上式整理可得结果．（2）把x＝2019代入回归直线方程即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）计算得＝3，＝2.2，，,‎ 所以， a＝2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，‎ 所以z＝1.2t﹣1.4．‎ 注意到t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入z＝1.2t﹣1.4，即（y﹣50）÷10=1.2(x-2013)-1.4,‎ 整理可得y＝12x﹣24120．‎ ‎（2）当x＝2019时，y＝12×2019﹣24120＝108，即2019年房贷发放数额为108亿元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，利用表中数据和公式，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎18．如图，在中，点在边上，，，，．‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求得的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求得的值后即可求解．‎ 试题解析：（1）∵，且，∴．又∵，‎ ‎∴．∴．∵,，‎ ‎∴ ；（2） ∵，‎ 且,，，∴，‎ ‎∴．又∵，‎ ‎∴，又∵在中,,∴,即,‎ ‎∴．‎ 考点：余弦定理解三角形．‎ ‎19．按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，属酒后驾车；在（含80）以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；‎ ‎（2）从血液酒精浓度在范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．‎ ‎【答案】（1）3人；（2）；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由频率分布直方图，先求出血液酒精浓度在和在范围内的人数，然后作和即为醉酒驾车的人数；（2）先求出从血液酒精浓度在范围内驾驶员中任取2人的所有个数，以及恰有一人的血液酒精浓度在范围内的所有个数，两个数值做比值即可；‎ 试题解析：（1）由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在范围内有：人，‎ 血液酒精浓度在范围内有：人，所以醉酒驾车的人数为2+1=3人；‎ ‎（2）因为血液酒精浓度在内范围内有3人，记为，范围内有2人，记为，则从中任取2人的所有情况为共10种，恰有一人的血液酒精浓度在范围内的情况有，共6种设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件，则 考点：频率分布直方图；‎ ‎20．已知等差数列的前项和为,且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的公差不为0，数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列中项的定义，等差数列的通项和等差数列的前n项和公式列出首项和公差的方程组，即可解得答案.（2）利用错位相减求和即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由成等比数列得，设等差数列的公差为d，则，化简得或d=0.‎ 当时，，得，‎ ‎∴，即；‎ 当d=0时，由，得，即；‎ ‎（2）若数列的公差不为知,，‎ 所以……①‎ ‎……②‎ 由①②可得 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项和等比数列中项的定义的应用，考查等差数列前n项和和错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎21．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)点为轨迹上任意一点，直线为轨迹上在点处的切线，直线交直线于点，过点作交轨迹于点，求的面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心轨迹C的方程；（2）由抛物线方程设出P点坐标，利用导数得到切线PR方程，代入y＝﹣1得点R横坐标，求PQ所在直线方程，和抛物线联立，由根与系数关系得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆圆心C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y；‎ ‎（2）C的方程为x2＝4y，即，故，设P(t,)（t≠0），‎ PR所在的直线方程为，即，‎ 令y=-1得点R横坐标，|PR|=； ‎ PQ所在的直线方程为，即，‎ 由，得，‎ 由得点Q横坐标为，‎ ‎∴|PQ|=，‎ ‎，不妨设t＞0，,‎ 记 ，则当t＝2时，f（t）min＝4,‎ 则三角形面积的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，同时考查利用换元法和基本不等式解决最值问题，属于中档题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)是否存在实数，使得函数的极值大于?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间 为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域为，.‎ ‎① 当时，，∵∴，∴ 函数单调递增区间为 ‎② 当时，令得，即，.‎ ‎（ⅰ）当，即时，得，故，‎ ‎∴ 函数的单调递增区间为.‎ ‎（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.‎ 若，则，此时，当时，.‎ ‎∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间 为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.‎ ‎（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ ‎∴有极大值，其值为，其中.‎ ‎∵，即， ∴.‎ 设函数，则，‎ ‎∴在上为增函数，又，则 ，‎ ‎∴ .‎ 即，结合解得，∴实数的取值范围为.‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．‎