2020二轮复习(理)　数列求和与综合问题作业

2020二轮复习(理)　数列求和与综合问题作业

专题限时集训(四)　数列求和与综合问题 ‎[专题通关练]‎ ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．等比数列{an}的各项均为正数，且a‎5a6＋a‎4a7＝18，则log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝(　　)‎ A．12　　　　　　　 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ B　[由等比数列的性质，知a‎5a6＝a‎4a7＝9，所以log‎3a1＋log‎3a2＋log‎3a3＋…＋log‎3a10＝log3(a‎1a2a3…a10)‎ ‎＝log3(a‎5a6)5＝log395＝10，故选B.]‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)‎ A．2n－1 B. C. D. B　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1，‎ ‎∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即＝.‎ ‎∴{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，即Sn＝.]‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. A　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝，‎ ‎∴a＝－.故选A.]‎ ‎4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则S13＝(　　)‎ A. B. C. D. D　[由题意，∵a1＝2，‎ n＝2时，a2＋a3＝22，n＝4时，a4＋a5＝24，‎ n＝6时，a6＋a7＝26，n＝8时，a8＋a9＝28，‎ n＝10时，a10＋a11＝210，n＝12时，a12＋a13＝212，‎ S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212＝2＋＝.故选D.]‎ ‎5．(2019·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　 )‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ C　[在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，‎ 所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11，‎ 所以＝－11， ①‎ 又am＋1＝a1(－2)m＝32， ②‎ 两式联立解得m＝5，a1＝－1.]‎ ‎6．[一题多解]设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________.‎ ‎32　[法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32.‎ 法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an ‎，即an＋1＝2an，所以数列{an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.]‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 020＝________.‎ 　[由an＋2－2an＋1＋an＝0可知数列{an}是等差数列，‎ 则公差d＝a2－a1＝2－1＝1.‎ ‎∴Sn＝na1＋d＝n＋＝.‎ ‎∴＝＝＝2，‎ ‎∴Tn＝21－＋－＋…＋－＝21－，‎ ‎∴T2 020＝2＝.]‎ ‎8．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.‎ ‎2　[由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，‎ ‎∵对任意正整数n，上式恒成立，‎ ‎∴得∴数列{an}的公差为2.]‎ ‎[能力提升练]‎ ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎9．已知正项数列{an}满足a－‎2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为(　　 )‎ A．n B． C． D． C　[由a－‎2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，‎ 又an＞0，∴＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2＝log22n＝n.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为，故选C.]‎ ‎10．已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，则该数列的前23项的和为(　　 )‎ A．4 194 B．4 195‎ C．2 046 D．2 047‎ A　[当n为偶数时，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶数项成等差数列，所以 b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99.‎ 当n为奇数时，bn＋2＝2bn，即奇数项成等比数列，所以 b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4 095.‎ 所以该数列的前23项的和为99＋4 095＝4 194，故选A.]‎ ‎11．[重视题](2019·惠州调研)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素个数为cn，把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为________．‎ ‎293　[设an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，则ai＋aj＝‎2a1＋(i＋j－2)d，由题意知1≤i＜j≤n，当i＝1，j＝2时，i＋j－2取最小值1，当i＝n－1，j＝n时，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥3)．数阵中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(个)数，所以第17行由左向右数第10个数为c148＝2×148－3＝293.]‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，设bn＝，n∈N*.‎ ‎(1)证明：{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解](1)因为a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，‎ 所以－＝2，所以bn＋1－bn＝2.‎ 因为b1＝＝1，‎ 所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*，‎ 所以＝，‎ 所以Tn＝＋＋＋…＋＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减，得Tn＝＋2×－＝＋2×－＝＋1－－＝－－，‎ 故Tn＝3－－＝3－.‎ 题号 内容 押题依据 ‎1‎ 数列的通项an与求和公式Sn的关系 由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现，主要考查转化与化归，分类讨论等思想，难度适中 ‎2‎ 数列求和，对数运算an与 Sn的关系 对数运算与数列交汇是高考的命题热点之一，裂项相消法求和简单易行，符合高考的命题形式 ‎【押题1】　已知数列{an}的前n项和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎2－　[当n＝1时，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1＝2×1＋1，即a1＋a1＝3，解得a1＝.‎ 由an＋Sn＝2n＋1，①‎ 知当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，②‎ ‎①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2，‎ 即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)，‎ 故数列{an－2}是以a1－2＝－为首项，为公比的等比数列，‎ 所以an－2＝－×＝－，即an＝2－. ‎ ‎【押题2】　已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2(n∈N*)，bn＝log4an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解](1)当n＝1时，a1＝2.‎ 当n≥2时，‎ a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2，‎ a1＋＋＋…＋＝2n－2，两式相减得＝2n，即an＝22n－1，‎ 当n＝1时满足上式，故数列{an}的通项公式an＝22n－1.‎ ‎(2)因为bn＝log422n－1＝，‎ ＝＝2.‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2＝.‎