【数学】2019届一轮复习人教A版切线方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版切线方程学案

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ 切线方程 考点一。导数的运算 ‎1.求下列函数的导数 ‎ ‎(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin ； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝；(5)y＝ln(2x－5).‎ 解 (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.‎ ‎(2)y′＝(x2)′sin ＋x2(sin )′＝2xsin ＋x2cos .‎ ‎(3)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ ‎(4)y′＝.‎ ‎(5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝.‎ ‎2.(1)f(x)＝x(2 016＋ln )，若f′(x0)＝2 017，求x0的值。‎ ‎(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，求f′(－1)的值。‎ 解 (1)f′(x)＝2 016＋ln ＋x×＝2 017＋ln ，又f′(x0)＝2 017＋ln 0＝2 017，解得x0＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.‎ 考点二。导数的几何意义 命题点1　已知切点的切线方程问题 ‎3.(1)求函数f(x)＝的图像在点(1，－2)处的切线方程。‎ 解 (1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程。‎ 解 在点处斜率，则切线方程为，即．‎ ‎（3）求斜率 =2的抛物线的切线方程。‎ 解 设为切点，则斜率为．．则切点．故切线方程为，即.‎ ‎（4）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．‎ 解 y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴过P， Q的切线方程分别为 y＝4x－8，‎ y＝－2x－2，联立方程解得y＝－4.‎ ‎（5）已知f(x)在（1，f(1))处的切线方程为 ，求的值。解 。 ‎ ‎（6）已知y=x+lnx在（1,1）处的切线与相切，求a的值。‎ 解 ，，则切线方程为 y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,又因切线与相切，则，，则，故a=8或a=0(舍）。‎ ‎（7）已知函数f(x)＝lnx＋2x，求 （1）f′(1)； （2）在点P(1，f(1))处的切线方程。‎ 解 （1）f′(x)＝＋2f′(1)曲线在(1，f(1))处切线方程的斜率 ＝f′(1)，则f′(1)＝1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－1，（2）f(1)＝ln1＋2×(－1)＝－2，所以切点(1，－2),所以切线方程为 y＋2＝－(x－1),化简得x＋y＋1＝0．‎ (8) 已知f(x）满足 ,求f(x)在（1,1）处的切线方程。‎ 解 ，令x=0,则，则切线方程 y=x-2.‎ 命题点2　未知切点的切线方程问题 ‎4.(1)求与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程。‎ ‎(2)求过点(0，－1)且与f(x)＝xln 相切的直线方程。‎ ‎（3）求过点且与曲线相切的直线方程． （4）求过点且与相切的直线方程．‎ ‎（5）求过与曲线相切的直线方程． （6）求过点与 相切的直线方程。‎ 解 (1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为 ＝2x0.‎ 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln 上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln ，∴解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ ‎（3）设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．‎ 解得，即．‎ ‎（4）设切点为，则点的坐标满足．‎ 因，故切线的方程为．点在切线上，则有．化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．‎ （5） 设为切点，则斜率为．切线方程为．．过点，代入．‎ 解得，或．故所求切线方程为，或，即 ，或．‎ ‎（6）设切点，则由，在点处的斜率，有在点处的切线的方程为。又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，‎ 有，消去得，‎ 解得或，于是或，所以所求切线方程为或。‎ 命题点3　和切线有关的参数问题 ‎5.（1）若曲线y＝mx＋ln 在点(1，m)处的切线平行于x轴，则m＝________.‎ 解 ∵y′＝m＋，∴y′|x＝1＝m＋1＝0， ∴m＝－1.‎ ‎（2）已知f(x)＝ln ，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，求m的值。‎ 解 ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为 ＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，‎ 于是解得m＝－2.‎ ‎（3）设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y＝(1－x)e－x在点B(x0，y2)处的切线为l2，若存在x0∈，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是________．‎ 解 由y＝(ax－1)ex，得y′＝aex＋(ax－1)ex＝(ax＋a－1)ex，所以＝(ax0＋a－1).‎ 由y＝(1－x)e－x＝，得y′＝＝，所以＝.因为l1⊥l2，所以·＝－1，即(ax0＋a－1)·＝－1，即(ax0＋a－1)·(x0－2)＝－1，从而a＝，其中x0∈，令，则。‎ 考点三。切线与坐标轴面积 ‎6.（1）求曲线f(x)= 在点P(3,3)处的切线与坐标轴围成的面积。‎ 解 f(x)=，求导 f'(x)=- ,点P（3,3）处斜率 =f'(3)=-1,切线为 y-3= (x-3)=-x+3， 切线y=-x+6,与坐标轴交点为（6,0）和（0,6）,所以所求面积 S=6*6=18.‎ ‎(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x 围成的三角形的面积为________.‎ 解 ∵y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率 ＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(，)，∴三角形的面积S＝×1×＝.‎ ‎（3） y＝ 的切线与坐标轴围成的最大面积.‎ 解 y‘=-，设（a，）为其上任一点，切线斜率 =-，建立直线方程 y-=-(x-a) 令x=0，解得y轴坐标为（0，2)，y=0,x轴上坐标（a+1，0），由三角形面积公式得s（a）=*2*（a+1），则s’(a)=-a*=0 得 a=0，当a=0时取极大值点。在（ ）上就是最大值s（a）max=1。‎