人教版高三数学总复习课时作业43

人教版高三数学总复习课时作业43

课时作业43　数学归纳法 一、选择题 ‎1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1时，左边是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 解析：当n＝1时，代入原式有左边＝1＋a.故选B.‎ 答案：B ‎2．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)‎ A．p(n)对所有正整数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有自然数n都成立 解析：归纳奠基是：n＝2成立．‎ 归纳递推是：n＝k成立，则对n＝k＋2成立．‎ ‎∴p(n)对所有正偶数n都成立．‎ 答案：B ‎3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－2 B．an＝n2‎ C．an＝3n－1 D．an＝4n－3‎ 解析：求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.‎ 答案：B ‎4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．‎ 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．‎ 答案：A ‎5．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.‎ 答案：B ‎6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，‎ ‎∴应增乘2(2k＋1)．‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是__________．‎ 解析：n＝1,2,3,4代入验证成立，而n＝5验证不成立．‎ 答案：5‎ ‎8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．‎ 答案：(k＋1)2＋k2‎ ‎9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是__________．‎ 解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；‎ ‎4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；‎ ‎5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；‎ ‎…；‎ 一个整数n所拥有数对为(n－1)对．‎ 设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，‎ ‎∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12,12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，‎ ‎∴第60个数对为(5,7)．‎ 答案：(5,7)‎ 三、解答题 ‎10．用数学归纳法证明下面的等式：‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝(－1)0·＝1，‎ ‎∴原等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，‎ 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2‎ ‎＝(－1)k－1.‎ 那么，当n＝k＋1时，则有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]‎ ‎＝(－1)k.‎ ‎∴n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)知对任意n∈N*，有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.‎ ‎11．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ 解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.‎ 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.‎ 猜测an＝n(n＋1)(n∈N*)，bn＝(n＋1)2(n∈N*)．‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上可得结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，‎ 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，‎ 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝＝(k＋2)2，‎ 所以当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．‎ ‎(2)①当n＝1时，＝<.‎ ‎②当n≥2时，由(1)知an＋bn＝n(n＋1)＋(n＋1)2‎ ‎＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n.‎ 所以<.‎ 故＋＋…＋ ‎<＋ ‎＝＋ ‎＝＋<＋＝.‎ 由①②可知原不等式成立．‎ ‎1．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ 解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1，‎ b2＝＝，a2＝1×＝，∴P2.‎ ‎∴直线l的方程为＝，即2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，2ak＋bk＝1成立．‎ 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝·(2ak＋1)＝＝＝1，‎ ‎∴当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立．‎ 由①②知，对于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．‎ ‎2．(2014·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即 ‎1>c>a2k＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)

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