安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题答案

安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题答案

高一年级★试卷 第 1页 共 8页 高一年级★试卷 第 2页 共 8页 2019 级高一年级线上线下教学衔接监测（数学） 参考答案 （考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分） 一．选择题 1.若 0 ba ， Rc ，则下列不等式正确的是（ ） A. 22 ba  B. ba 11  C. 22 bcac  D. ba  【答案】B 2.已知 )1,2()2,1(  ba  ， ，若 ba // ，则  （ ） A. 3 B. 4 C.5 D. 6 【答案】C 3.在 ABC 中，  120,3 Aba ，则角 B 的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 4.等差数列 }{ na 满足 642  aa ，则 5S （ ） A. 12 B.15 C.18 D. 21 【答案】B 5.已知 1,,10,10 212121  aaNaaMaa ，则 M，N 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 6.已知向量 ba , 的夹角为 ，且 2||||  ba  ，则向量 ba   在向量 a 方向上的投影为（ ） A. -1 B. 1 C.2 D. 3 【答案】A 7.在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，已知 4,15,60  baA ，则 Bcos （ ） A. 5 5 B. 5 52 C. 5 52 5 5 或 D. 5 5 5 5 或 【答案】D 8．设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BC CD  ，则（ ） A. ACABAD 3 4 3 1  B. ACABAD 3 4 3 1  C. ACABAD 3 1 3 4  D. ACABAD 3 1 3 4  【答案】A 9.已知正实数 yx, 满足 04  xyyx ，若 myx  恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. )9,0( B. ]9,0[ C. )9,( D. ]9,( 【答案】D 10.各项均为实数的的等比数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ，若 07,01 3010  SS ,则 20S （ ） A. 710 B.30 或-20 C.30 D. 40 【答案】C 11.已知向量 3OA  ， 2OB  ，OC mOA nOB    ，若OA  与OB  的夹角为 60°，且 OC AB  ， 则实数 m n 的值为（ ） A. 6 1 B. 4 1 C.6 D. 4 【答案】A 12.在平面内，定点 OCBA ,,, 满足 |||||| OCOBOA  , 2 OAOCOCOBOBOA ，动点 QP, 满足 QCPQAP  ,1|| ，则 的最大值是（ ） A. 12 B. 6 C. 36 D. 32 【答案】A 高一年级★试卷 第 3页 共 8页 高一年级★试卷 第 4页 共 8页 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.不等式 12 3 x 的解集为________________.（用区间表示） 【答案】 ]5,2( 14. 已知向量 ba , 满足 1||,||  bma  ， a 与b  的夹角为 150°， bba   )( ，则 m ________． 【答案】 3 32 15.设数列 }{ na 满足 11 a ，且 )(1 * 1 Nnnaa nn  ，则数列       na 1 前 2020 项的和为________． 【答案】 2021 4040 16. 益古演段 是我国古代数学家李冶 的一部数学著 作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和 周长等等．其中有这样一个问题：如图，已知 ，点 B、C 分 别在 的两个边上移动，且保持 B、C 两点间的距离为 ，则点 B、C 在移动过程中，线段 BC 的中点 D 到点 A 的最大距离为________． 【答案】3 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（10 分）已知不等式 6342  xax 的解集为 }1|{ bxxx  或 （1）求 ba, ； （2）若 3c ，解不等式 0)(2  bcxcbaax . 【答案】（1）由题意可知方程 6342  xax 的解为 bxx  或1 且 1b ，则有    634 634 2 bab a ……………………………………………………………………2 分 解得 （舍）或       1 1 3 1 b a b a ……………………………………………………5 分 （2）∵ 3,1  ba ，则原不等式为 03)3(2  cxcx ， 即有 0))(3(  cxx ………………………………………………………………7 分 ∵ 3c ，∴不等式得解集为 }3|{ cxx  ………………………………………10 分 18.（12 分）已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差为 2 ，且 1a ， 2S ， 4S 成等比数列． （1）求 321 ,, aaa ； （2）设 n nn ab 2 ，求数列 }{ nb 的前 9 项和. 【答案】（1）由 1a ， 2S ， 4S 成等比数列得 2 2 1 4S a S ，化简得   2 1 1 12 4 6a d a a d   ， ………………………………………………………………………………………………2 分 又 2d  ，解得 1 1a  ，所以 5,3 32  aa ………………………………………………6 分 （2）由（1）可知数列 na 的通项公式  1 2 1 2 1na n n     ， 所以 n n nb 212  . 设 }2{ n 的前 n 项和为 nT ，则 2221 )21(2 1   n n nT ………………………………8 分 又 2 2 )121( nnnSn  …………………………………………………………………10 分 所以 }{ nb 的前 9 项和为 1103210248199 TS ………………………………12 分 高一年级★试卷 第 5页 共 8页 高一年级★试卷 第 6页 共 8页 19.（12 分）在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，已知 b ac B CA  2 cos cos2cos （1）求 A C sin sin 的值； （2）若 2,3  bB  ，求 ABC 的面积. 【答案】（1）由正弦定理可得 B AC B CA sin sinsin2 cos cos2cos  …………………………………………………………………………………………………2 分 则有 AC CBBA CBCBBABA ABCBCBAB sin2sin )sin(2)sin( )sincoscos(sin2sincoscossin sincossincos2cossin2cossin     所以 2sin sin  A C ………………………………………………………………………………6 分 （2）由余弦定理得即 ac bcaB 2cos 222  ，即 2 1 4 24 2 22  a aa ∴ 3 6a …………………………………………………………………………………………………9 分 所以 3 3sinsin2 1 2  BaBacS ABC …………………………………………………12 分 20.（12 分）数列 }{ na 的前 n 项和为 nS 且满足 132  nn aS ，数列 }{ nb 满足 1 31 log    n n nn a abb )2( n ，且 23 ab  ，则： （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）记 nnn bac  ，求 }{ nc 的前 n 项和 nT . 21.（12 分）如图，在 ABC 中， 4B  ，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，设 5,sin 5BAD     . （1）求 sinC ； （2）若 · 28BA BC  ，求 AC 的长. 【答案】（1）∵ 0, 2      ， 5 1sin 5 5    ， ∴ 2 2cos 1 sin 5     ， 则 1 2 4sin sin2 2sin cos 2 55 5 BAC          ， ∴ 2 4 3cos 2cos 1 2 15 5BAC        ，………………………………………………3 分 ∴ 2 2 2 3 2 4 7 2sin sin 2 sin 2 cos2 sin24 4 2 2 2 5 2 5 10C                              ． ………………………………………………………………………………………………5 分 （2）由正弦定理，得 sin sin AB BC C BAC   ，即 47 2 510 AB BC ，∴ 7 2 8AB BC ．………………………………………………………………………………………………7 分 又 · 28BA BC  ，∴ 2 282AB BC   ，由上两式解得 4 2BC  ．………………………………………………………………………………………………10 分 又由 sin sin AC BC B BAC   得 42 52 AC BC ，∴ 5AC  ． ．………………………………………………………………………………………………12 分 高一年级★试卷 第 7页 共 8页 高一年级★试卷 第 8页 共 8页 22. （12 分）6.定义两类新函数：函数 )(xfy  对定义域内的每一个值 1x ，在其定义域内都存在唯的 2x ， 使得 1)()( 21  xfxf 成立，则称该函数为“LZ 函数”；若函数 )(xfy  对定义域内的每一个值 1x ， 在其定义域内都存在唯一的 2x ，使得 0)()( 21  xfxf 成立，则称该函数为“LZplus 函数”。 (1)设函数 13)(  xxg 的定义域为 ],[ nm ，已知 )(xg 是某一类新函数，试判断 )(xg 是“LZ 函数”还 是“LZplus 函数”（不需说明理由），并求此时 22 nm  的范围； (2)已知函数 4)12()( 22  bxbxxh 在定义域 ]1,2[ 上为“LZplus 函数”，若存在实数 ]1,2[x ， 使得对任意的 Rt  ，不等式 4)5()( 2  xtptxh 都成立，求实数 p 的取值范围． 【答案】（1）函数 13)(  xxg 在定义域 ],[ nm 上是“LZ 函数” …………………………………………………………………………………………………1 分 因为 13)(  xxg 在 ],[ nm 内单调递增，由定义需满足 133 11   nm 即 2 nm ，因为 nm  ，所以 1,1  nm ……………………………………………3 分 所以 22)1(2 )2( 2 2222   m mmnm 所以 22 nm  的范围为 ),2(  ……………………………………………………………5 分 （2）若 图象对称轴 )1,2(2 12  bx ，设 )1,2(, 21 xx ，且 ， 关于 2 12  bx 对称， 此时， ，由条件知存在 ，使 ，这与“LZplus 函数”定义矛盾． 所以 在 ]1,2[ 上单调，且 0)1()2(  hh 由 ，得 ，解得 或 ． 检验： 在 上单调，所以 ．………………………………………………7 分 不等式即 4)5(5 22  xtptxx ， 整理得 ，由题意知，上式对任意 恒成立． 得 ，………………………………………………………………9 分 整理得 01643 2  pxx ，由题意知，存在 ]1,2[x 使得该不等式成立， 所以 016812  p 或 01643  p ，解得 2 1p 或 4 31p ． 所以实数 p 的取值范围是 ),2 1[]4 13,(   …………………………………………12 分