2018-2019学年安徽省合肥市第六中学高二下学期适应性模拟测试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省合肥市第六中学高二下学期适应性模拟测试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省合肥市第六中学2018-2019学年高二下学期适应性模拟测试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，，所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的除法运算可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则是（ ）‎ A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.‎ ‎【详解】‎ 定义域为R，关于原点对称，‎ ‎ ，有，‎ 所以是奇函数，‎ 函数，显然是减函数.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎4．如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原得四棱锥，结合四棱锥的结构特征直接求表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，2个侧面是腰长为2的等腰直角三角形，另外2个侧面是边为，，直角三角形，所以表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎5．某单位为了解用电量（度）与气温（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（ ）‎ 气温（°C）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程中 ，预测当温度为5°C时，用电量的度数约为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算和，代入线性回归方程可得，再将代入方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知，，将其代入回归方程得，‎ 故回归方程为，当时，，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程的求解及应用，属于基础题.‎ ‎6．已知等比数列的前项和为，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得 ‎，令求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由，可得；‎ 由.‎ 两式作比可得：可得，，‎ 所以，，，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.‎ ‎7．已知函数的最小正周期为，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得，由周期得，进而得即可求解 ‎【详解】‎ 由题可得=，由最小正周期为可得又代入可得：，，，‎ 则 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换，二倍角公式及辅助角公式，熟记公式及性质，准确计算是关键，是中档题 ‎8．设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；‎ 设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D 考点：双曲线的简单性质 ‎9．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点为，可证得平面平面，即的面积即为所求，然后利用梯形的面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 取的中点为.‎ 易知，，所以四边形为平行四边形，所以.‎ 又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.‎ 由，，所以四边形为梯形，高为.‎ 所以面积为：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题.‎ ‎10．的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.‎ ‎【详解】‎ ‎ .‎ 注意，，‎ 所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.‎ ‎11．圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设此圆的圆心坐标为，则圆的半径，当且仅当时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为，选A.‎ 考点：圆的方程、基本不等式.‎ ‎12．已知函数与轴相切与点，且极大值为4，则等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是的极值，再求导分析极值可知，从而得a，进而可求.‎ ‎【详解】‎ 由题意时，是的极值，所以.‎ ‎.‎ 因为取得极值为0，极大值为4，所以当时取得极大值，解得.‎ 所以，.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数导数研究函数的极值，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，‎ 于是且，得，经检验.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.‎ ‎14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，执行循环结构的程序框图，直到满足条件结束循环，输出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 程序运行如下：，；，；,；，；，，变量的值以4为周期循环变化，当时，，时，，结束循环，输出的值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．‎ ‎15．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的平面区域,‎ 得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)‎ 设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，‎ 当l经过点A时，目标函数z达到最小值 ‎∴z最小值=F(2,1)=7‎ ‎16．已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得的范围，由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题设，所以应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有，得，所以的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．为了解中学生对交通安全知识的掌握情况，从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按，，，分组，得到的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”？‎ 成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 农村中学 城镇中学 合计 附：‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩56，城镇中学的竞赛平均成绩60；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即可得平均值；‎ ‎（Ⅱ）根据已知数据完成列联表，再利用公式计算出观测值，再查表下结论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩，‎ 城镇中学的竞赛平均成绩.‎ ‎（Ⅱ）‎ 成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 农村中学 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 城镇中学 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ ‎ ，‎ 有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”‎ ‎【点睛】‎ 利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎18．如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分析梯形的角度可得，即得，又，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，易得四边形是平行四边形，得，由梯形面积公式可得底面积，高为，利用椎体的体积公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设易得，所以，，，（第2问用）因此，又，和为平面内两条相交直线，‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，则由平面 可得，进而四边形是平行四边形，‎ 所以.‎ 四棱锥的底面积是.‎ 由（Ⅰ）知四棱锥的高是 所以体积.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质，还有椎体的体积公式，考查一定的空间想象力，属于中档题.‎ ‎19．已知数列的前项的和，是等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令.求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求出，再由得到通项公式，求出，再由，进而可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，再由错位相减法，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），时，‎ ‎，‎ 也符合此式，所以.‎ 又，，‎ 可得，，‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以，‎ 所以，‎ 错位相减得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.‎ ‎20．如图，是的外角平分线，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得，可得 ，从而得解；‎ ‎（Ⅱ）在和中，分别用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设，，‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理，‎ 在中，‎ 又，所以，进而.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；‎ ‎（Ⅱ）四边形的四个顶点都在椭圆上，且对角线，过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程，离心率；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的方程为，代入条件可得椭圆方程，进而可得离心率；‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，，设的方程为，，，与椭圆联立得 ，由，利用韦达定理代入化简得，表示原点到直线的距离，代入 化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的方程为，则 ‎ 所以椭圆的标准方程，所以，，，离心率.‎ ‎（Ⅱ）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，‎ 设的方程为，，.‎ 联立，得 ，‎ 则，.①‎ 由，得 .②‎ 由①、②，得.③‎ 设原点到直线的距离为， ，‎ ‎ .‎ 由③、④得，故四边形的面积为定值，且定值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆定义、离心率公式、直线方程与椭圆方程联立，求交点，考查了化简整理运算能力.‎ ‎22．已知函数在处的切线方程.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题设，运算求解即可；‎ ‎（Ⅱ）令 ，，通过求两次导数分析函数单调性可得存在在唯一的使得，当或者时，单调递增，当时，单调递减，进而有，从而得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），由题设 ‎ ‎（Ⅱ）实际上是证明时，的图象在切线的上方.‎ 令 ，，则，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；在唯一的极小值.‎ 注意到，，而，所以，所以；‎ 又因为在上单调递减，所以存在在唯一的使得；‎ 因此当或者时，，当时，；‎ 所以当或者时，单调递增，当时，单调递减；‎ 由于，所以，当且仅当时等号成立；‎ 所以时，不等式成立.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2‎ ‎）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎