2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．（卷号）2069111736868864‎ ‎（题号）2069720738816000‎ ‎（题文）‎ 设全集，集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 列举全集U，求出M、N的补集，再求二者的交集。‎ ‎【详解】‎ 全集，，‎ 所以=，答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 在进行集合运算进，)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集。‎ ‎2．函数恒过点 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数过定点，注意函数与函数的关系，根据平移规律可得结论。‎ ‎【详解】‎ 考查函数，将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数 ‎，而函数过定点，故函数过定点，答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的性质与函数图像平移等，属于基础题。‎ ‎3．函数在区间上的最大值是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 可以判断函数为增函数，故当时，函数取最大值，计算即可。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以指数函数为增函数，‎ 所以当时，函数取最大值，且最大值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性与最值，解题的关键是掌握指数函数的单调性判断依据是底数的取值，属于较为基础的内容，难度也不大。‎ ‎4．函数的零点所在的区间是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数，则函数在上单调递增，且函数在上连续，根据可得，函数的零点所在的区间为。‎ ‎【详解】‎ 因为函数，在上单调递增，且函数在上连续，‎ 又因为，，故有，‎ 所以函数的零点所在的区间为，答案选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的定义，判断零点所在的区间的方法，方程的解与函数零点的关系，属于基础题。在运用零点存在定理判断零点所在的区间时，必须有以下几个条件：（1）函数在给定的区间上连续；（2）满足。如果函数是单调函数，可说明函数在区间上有唯一的零点。‎ ‎5．下列函数为偶函数的是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可以从函数的定义域是否关于原点对称，是否满足，以及图像是否关于y轴对称等方面进行判断即可。‎ ‎【详解】‎ A. ，定义域不关于原点对称，答案A不是偶函数；B. 满足，答案B是偶函数；C与D中的两个函数为奇函数，故答案选B。‎ ‎【点睛】‎ 对于函数奇偶性的判断可从下面几点进行：（1）定义域是否关于原点对称，如果不对称，则一定不是奇偶函数；（2）奇偶函数的定义式，是否满足，或；（2）从图像上看，图像是否关于y轴对称或原点对称。‎ ‎6．设则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据指数函数与对数函数的图像与性质，判断三个数所在的范围即可。‎ ‎【详解】‎ 根据指数函数与对数函数的图像及性质可得：，，，故答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数与对数函数的图像与性质，结合图像，数形结合是解题关键，属于基础题。‎ ‎7．下列各组函数中，表示同一组函数的是 A． ，‎ B． ，‎ C． ，‎ D． ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 可以从函数的定义域，解析式，及值域等方面依次判断即可。‎ ‎【详解】‎ A. 的定义域为R，的定义域为故不是同一函数；‎ B. 的定义域为R，的定义域为故不是同一函数；‎ C. =|x|，解析式不同故不是同一函数 D. ，函数与用什么字母表示自变量无关。故答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 函数的三要素是定义域、对应法则、值域，只有三个要素完全相同时，两个函数才表示同一组函数关系，这是此类问题判断依据。‎ ‎8．已知函数，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 首先求出的解析式，再代入求值即可。‎ ‎【详解】‎ 设，则 所以，即 所以= ，答案选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的解析式及函数值，关键是通过换元求解函数解析式，这里有一定的灵活性，需要多练习才能较好的掌握。‎ ‎9．函数的图象如图所示，其中为常数，则的取值为 A． 等于0‎ B． 恒小于0‎ C． 恒大于0‎ D． 无法判断 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 观察图像可得，及，再结合对数函数的性质可得结果。‎ ‎【详解】‎ 由图像可知：且 所以，‎ 所以，所以。答案选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质，考查了数形结合思想。对于此类问题首要任务是识图，应从图中得到有用的信息，将图像（即形）呈现的特点与函数中的参数（即数符号或范围）、图形中的交点所代表的数学意义形成对应，才能顺利地解决问题。‎ ‎10．方程有两个实根，且满足，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得，，解不等式组即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，即 解得，故答案选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次方程根的分布与二次函数的关系，此类问题的解决关键是把方程根的分布呈现在坐标平面内，并推测二次函数图的大致位置，再将二次函数在坐标系内的位置转化为函数值的正负，从而构造不等式组，以达到确定参数的取值范围。这是典型的数形结合思想。‎ ‎11．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先根据函数在上性质推测其大致图像，等价于自变量与符号相反，再结合图像得出不等式的解集。‎ ‎【详解】‎ 因为奇函数在上为增函数且，可推测其图像如下图。‎ 对于不等式等价于自变量与符号相反，‎ 所以由图像知，不等式的解集为。答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数性质的综合应用，与数形结合解不等式。此类问题的解决一般要采用数形结合思想，要根据函数的性质推测出函数的图像，利用图像并根据不等式的意义解题。‎ ‎12．函数是幂函数，对任意且，满足，若函数 在R上单调递增，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数是幂函数可得，有，函数,根据该函数在R上单调递增可得，，可求结果。‎ ‎【详解】‎ 因为函数是幂函数，‎ 所以，‎ 所以或 又因为对任意且，满足，‎ 所以为增函数，故。‎ 于是。‎ 所以，‎ 又函数在R上单调递增，‎ 所以有 解得。答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查了分段函数的单调性求参数，此类问题需注意二点：（1）对于分段函数在各段的定义域必须都增或都减，可能称分段函数增或减；（2）在各段的临界处，要注意函数值的大小关系，（需结合问题增还是减）。‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数经过点，则函数_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 先设出幂函数，再把点代入即可。‎ ‎【详解】‎ 设，则有 解得，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求幂函数的解析式，比较基础。‎ ‎14．函数的定义域是_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数有意义则有，，，联合解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 有题意知，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的求法，此类问题关键理解定义域的含意，通常情况下，在没有明确说明时，函数定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值范围。‎ ‎15．设函数，则的单调递增区间为_______________．‎ ‎【答案】（或者写成）‎ ‎【解析】‎ 将函数中的绝对值化去，转化为分段函数，即得到单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ 函数可化为 由指数函数的性质可知，的单调递增区间为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含绝对值的复合函数的单调性问题，对于含绝对值的函数通常要讨论自变量的取值范围化去绝对值，化为分段函数再进行讨论。而复合函数的单调性讨论则要先分清内、外层函数，先定内、外层函数的单调性，再根据“同增异减”确定复合函数的单调性。‎ ‎16．用表示不超过的最大整数，如．下面关于函数说法正确的序号是_______________．‎ ‎①当时，；‎ ‎②函数的值域是；‎ ‎③函数与函数的图像有4个交点；‎ ‎④方程根的个数为7个．‎ ‎【答案】① ② ④‎ ‎【解析】‎ 由符号表示不超过x的最大整数，可以画出函数 的图像比较容易判断问题中的四个结论，其中③和方程根的个数可转化为的图像交点个数。‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图像如图所示，显然结论①②均正确；在同一坐标系内作函数的图像(坐标系内第一象限的射线部分)，作出的图像（图像中的折线部分），可以得到③错误，④正确。故答案为① ② ④。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是分段函数知识和函数值域，函数零点等函数性质的综合类问题，在解答的过程中充分体现了分类讨论的思想，特值思想以及问题的转化思想，是对研究一个函数的全过程的考查，应当给予重视。‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）； ‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1） ,（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据指数幂的运算公式及性质进行计算即可；（2）根据对数运算性质进行化简并计算。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎（2）原式= ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数运算公式与对数运算性质进行化简与计算，在解决此类问题时，比较常用的技巧有：小数化成分数，带分数化成假分数，根式化为指数形式等，对数运算以化简每一个对数式为主，再运用运算性质进行计算，本题属于基础题。‎ ‎18．已知集合，．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）已知集合，若集合，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ ‎（1）根据集合的意义对集合A、B进行化简即可；（2）先求出，再根据建立不等式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，所以 ‎ 由，所以 ‎（2）由，‎ 根据，则或，‎ 所以或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简与基本运算，属于基础题。在解决此类问题时，首先要明确集合表示的意义，依据意义进行化简，其次把集合间的关系转化为图形表示，如在数轴进行表示，最后，把图形表示转化为不等式组，从而解决问题。此过程体现了转化思想、数形结合思想等。‎ ‎19．已知定义在上的函数是偶函数，当时，．‎ ‎（1）求函数在上的解析式；‎ ‎（2）若方程有4个根，求的取值范围及的值．‎ ‎【答案】（1）“或” ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据偶函数的定义求函数在上的解析式；（2）作出函数在上的图像，运用数形结合的方法求的取值范围及的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 由函数是偶函数，则,‎ 综上：“或” ‎ ‎（2）由图可知：‎ 当时，方程有4个根 令，由，则，则 ‎【点睛】‎ 本题考查了偶函数的解析式的求法及由函数图像解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题。属于中档题。‎ ‎20．已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）当在上具有单调性，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由不等式的解集为可得的两根是，根据根系数的关系可求和，代入不等式求解即可；（2）由题意可得，在上具有单调性可得区间在对称轴的左侧或者右侧，列不等式，求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由的解集为，则的解集为，则的解集为，则的两根，‎ 则，‎ 由，，‎ 则解集为 ‎ ‎（2）由在上具有单调性， ‎ 则，‎ 解出 ‎【点睛】‎ 本题考查了三个二次的关系，（1）二次函数的图像与x轴交点的横坐标，二次不等解集的端点值，一元二次方程的根是同一个量的不同表现形式；（2）二次函数、二次不等式，二次方程常称作“三个二次”，其中的某类的问题常可以转化为另两类问题加以解决，所以三者的关系密切而重要。其中二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像使它们贯穿一体，使得数形结合思想在此类问题的解决中十分有效。‎ ‎21．已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性并证明；‎ ‎（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）函数在上单调递增.‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）直接根据函数是奇函数，满足，即可求出；（2）利用函数单调性的定义即可证明；（3）不等式等价于，再结合奇函数的性质和增函数的性质可得，求解即可，注意要分和两种情况讨论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得，则 ‎ ‎（2）由，在上任意取两个自变量，且 ‎ 由，由，由，‎ 则，所以函数在上单调递增.‎ ‎（3）由，则，由函数是奇函数，则，由函数在上单调递增，则对恒成立，‎ 当时，满足条件；‎ 当时，；‎ 综上：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用。对于函数不等式，一般要运用函数的单调性和奇偶性，将其转化为自变量的不等式，再进行求解，有一个须注意由函数不等式转化为自变量的不等式时必须在函数定义域的约束下求解。‎ ‎22．已知函数的定义域为，对任意实数，都有．‎ ‎（1）求的值并判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）已知函数，‎ ‎①验证函数是否满足题干中的条件，即验证对任意实数，是否成立；‎ ‎②若函数，其中，讨论函数的零点个数情况．‎ ‎【答案】(1)函数为奇函数 ‎（2）当时，函数的零点个数为1个；‎ 当时，函数的零点个数为3个；‎ 当时，函数的零点个数为5个；‎ ‎【解析】‎ ‎（１）取，代入即可的值，以代，代入可得函数为奇函数；（2）①令，说明，结合对数运算，验证即可；②由可得，令可得，作出图像，分类讨论，即可求出零点的个数。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令时，，则；‎ 令，则，则函数为奇函数 ‎（2）①令，由，‎ 则，所以，则 由；‎ 由；‎ 则，故函数满足题干中的条件 ‎②由，根据，‎ 令 当时，，此时有1个零点；‎ 当时，，，，此时有3个零点； ‎ 当时，，，，‎ 当时，此时有5个零点；‎ 当时，此时有3个零点； ‎ 综上：当时，函数的零点个数为1个；‎ 当时，函数的零点个数为3个；‎ 当时，函数的零点个数为5个；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于难题。‎