2014年高考数学（理科）真题分类汇编C单元 三角函数
数 学
C单元 三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－
＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
C3 三角函数的图象与性质
9．C3[2014·辽宁卷] 将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
9．B [解析] 由题可知，将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图像，令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin的单调递增区间为，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间上单调递增．
3．C3[2014·全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．C [解析] 因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以
>1，所以>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.
6．C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin xcos x|＝|sin 2x|，且当x＝时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像．
14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
14．1 [解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.
17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
C4 函数的图象与性质
3．C4[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
3．A [解析] 因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin 2x的图像向左平行移动个单位长度．
11．C4[2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
11. [解析] 方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由该函数的图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以当φ>0时，φmin＝.
方法二：由f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知，－2φ＝＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.
14．C4[2014·北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
14．π [解析] 结合图像得＝－，即T＝π.
16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－
＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
7．C4、C5[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此
4，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
16．F2，C4[2014·山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
16．解：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
2．C4[2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
2．B [解析] 已知函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为T＝，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
4．C4[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
4．C [解析] y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos 3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，故选C.
17．C2，C3，C4[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ＜，
所以φ＝－.
(2)由(1)得ƒ＝sin(2×－)＝，
所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－＜，
所以cos＝＝＝.
因此cos
＝sin α
＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×
＝.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
14．1 [解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x，故其最大值为1.
16．C5、C8[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin的值．
16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝＝，所以由正弦定理可得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 .
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝
－.因为011时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.
8．C5[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
8．C [解析] tan α＝＝＝
＝＝tan，因为β∈，所以＋∈，又α∈且tan α＝tan，所以α＝，即2α－β＝.
13．C5，C8[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C
的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图13
13．60 [解析] 过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，∴AB＝＝＝50(m)，
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m，
由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，
故河流的宽度BC约为60 m.
16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
10．C8，C5[2014·重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
10．A [解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，
所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，
所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，
所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.
由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2 ，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin A
sin Bsin C＝R3≥8.
C6 二倍角公式
15．H4、C6[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
15. [解析] 如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，
即l1与l2的夹角的正切值等于.
16．B5、C6[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是________．
16．(－∞，2] [解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．
16．C2、C4、C6[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝.
所以f(α)＝×－
＝.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
16．C4，C5，C6，C7[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
15．C4、C5、C6[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
C7 三角函数的求值、化简与证明
16．C5、C7[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.
17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.
17．C8，C5 [2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.
16．C8[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
16. [解析] 根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cos A＝＝，所以A＝.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为×4×＝.
4．C8[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B. C．2 D．1
4．B [解析] 根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1××sin B＝，得sin B＝，其中C8 B．ab(a＋b)>16
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
10．A [解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，
所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，
所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，
所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.
由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2 ，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.
C9 单元综合
16．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
16．[－1，1] [解析] 在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得＝，所以＝sin α∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．
17．C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)记函数h(x)＝－4ln，x∈.
令t＝π－x，则当x∈时，t∈.
记u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈时，u′(t)<0.
故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，
故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
21．C9、B14[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π
)cos x－4(1＋sin x)ln.证明：
(1)存在唯一x0∈，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
21．证明：(1)当x∈时，f′(x)＝－(1＋sin x)·(π＋2x)－2x－cos x<0，函数f(x)在上为减函数．又f(0)＝π－>0，f＝－π2－<0，所以存在唯一x0∈，使f(x0)＝0.
(2)记函数h(x)＝－4ln，x∈.
令t＝π－x，则当x∈时，t∈.
记u(t)＝h(π－t)＝－4 ln，则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈时，u′(t)<0.
故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈，使u(t1)＝0，
故存在唯一的t1∈，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈，使g(x1)＝0.
因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
12．[2014·湖南联考] 设α是第三象限角，且tan α＝2，则＝____________．
12．－ [解析] ＝＝cos α.又tan α＝2，α是第三象限角，所以易得cos α＝－.
6．[2014·福州期中] 已知tan(π－α)＝，则＝( )
A. B. C．－ D．－
6．C [解析] ∵tan(π－α)＝，∴tan α＝－，∴原式＝＝－.
10．[2014·四川乐山一中月考] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图X132所示，则f(0)＝________.
图X132
10. [解析] 由图知A＝，＝－＝π，∴T＝π，∴w＝2.由2×π＋φ
＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴f(0)＝sin＝sin＝.
13．[2014·昆明一模] 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值为________．
13．16 [解析] 由cos B＝，得sin B＝，∴S△ABC＝acsin B＝×10×c×＝42，∴c＝14，∴b2＝c2＋a2－2accos B＝142＋102－2×10×14×＝196＋100－224＝72，∴b＝6 ，
∴b＋＝6 ＋＝6 ＋＝16
3．[2014·广州七校联考] 设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
3．解：(1)f(x)＝sin ωx＋sinωx－＝sin ωx－cos ωx＝sinωx－.
当ω＝时，f(x)＝sin－.
又－1≤sin－≤1，所以f(x)的最大值为，
此时－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z，
所以相应的x的取值集合为xk∈Z.
(2)依题意得，f＝sin－＝0，即－＝kπ，k∈Z，所以ω＝8k＋2.
又0<ω<10，即0<8k＋2<10，所以－
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