2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高二上学期期末考试数学（文）试题

2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学高二上学期期末考试数学（文）试题

2019__2020 学年第一学期联片办学期末考试 高二年级数学（文科）试卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1．命题“存在 x0∈R，2x0≤0”的否定是( ) A．不存在 x0∈R，2x0>0 B．存在 x0∈R，2x0≥0 C．对任意的 x∈R，2x≤0 D．对任意的 x∈R，2x>0 2．“sin A＝1 2 ” 是“A＝30°”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 f(x)＝sin x＋cos x＋π 2 ，则 f′ π 2 等于( ) A．－1＋π 2 B.π 2 ＋1 C．1 D．－1 4．关于命题 p：若 a·b＞0，则 a 与 b 的夹角为锐角；命题 q：存在 x∈R 使得 sin x＋cos x＝3 2.下列说法中正确的是( ) A．“p∨q”是真命题 B．“p∧q”是假命题 C． 为假命题p D． 为假命题q 5．椭圆x2 m ＋y2 4 ＝1 的焦距为 2，则 m 的值等于( ) A． 5 B．5 或 8 C．5 或 3 D．20 6.已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如 图所示，则该函数的图象是( ) 7．已知函数 f(x)＝x3－px2－qx 的图象与 x 轴切于点(1，0)，则 f(x)的( ) A．极大值为 4 27 ，极小值为 0[ZB．极大值为 0，极小值为 4 27 C．极小值为－ 4 27 ，极大值为 0 D．极小值为 0，极大值为－ 4 27 8．若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 9．若直线 y＝2x 与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心 率的取值范围为( ) A．(1， 5) B．( 5，＋∞) C．(1， 5] D．[ 5，＋∞) 10．定义在 R 上的可导函数 f(x)＝x2＋2xf′(2)＋15，在闭区间[0，m]上有最大 值 15，最小值－1，则 m 的取值范围是( ) A．m≥2 B．2≤m≤4 C．m≥4 D．4≤m≤8 11．设函数 f(x)＝1 2x2－9ln x 在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数 a 的取 值范围是( ) A.(1,2] B.(1,3) C.(1,2) D.(1,3] 12．已知点 O 为坐标原点，点 F 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点，点 A， B 分别为 C 的左、右顶点．点 P 为椭圆 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点，则椭圆 C 的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f (1))处的切线方程是 y＝3x＋2，则 f(1) ＋f′(1)的值等于________． 14．已知双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB，CD 的中点为双曲线 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则双曲线 E 的离心率是________． 15．若函数 f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1 在区间(0，4)上是减函数，则 k 的取 值范围是________． 16.如图，F1，F2 是双曲线 C1：x2－y2 3 ＝1 与椭圆 C2 的公共焦点，点 A 是 C1， C2 在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则 C2 的离心率是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知命题 p：lg(x2－2x－2)≥0，命题 q：|1－x 2|<1. 若 p 是真命题，q 是假命题，求实数 x 的取值范围． 18．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝ex－x－2. (1)求 f(x)的单调区间； (2)当 x∈[－3，2]时，求函数的最值． 19．(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且 经过点 M(4,1)，N(2,2). (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于不同的两点，且点 M 到直线 l 的距离 为 2，求直线 l 的方程. 20．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在 x＝1，x＝－1 处有极 值且 f(1)＝－1，求 a、b、c 的值及函数 f(x)的极值． 21．(本小题满分 12 分)Rt△AOB 的三个顶点都在抛物线 y2＝2px 上，其中直 角顶点 O 为原点，OA 所在的直线方程为 y＝ 3x，△AOB 的面积为 6 3， 求该抛物线的方程. 22．(本小题满分 12 分)设函数 f(x)＝(x＋2)2－2ln(x＋2)． (1)求 f(x)的单调区间； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝x2＋3x＋a 在区间[－1，1]上只有一个实数根，求实 数 a 的取值范围． 2019__2020 学年第一学期联片办学期末考试高二年 级数学（文科）试卷答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1……5 DBDBC 6……10BADBD 11……12 AA 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、___8___． 14、___2__． 15、__k≤1 3______．16、_ 2 3___． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17、解：由 p 是真命题，知 lg(x2－2x－2)≥0， 所以 x2－2x－2≥1⇔x2－2x－3≥0， 解得 x≤－1 或 x≥3.……………………（4 分） 由 q 是假命题知 x 2≥1，故 1－x 2≤－1 或 1－x 2≥1， 解得 x≥4 或 x≤0. …………………………（9 分） 所以 x 的取值范围是{x|x≤－1 或 x≥4}．……………………（10 分） 18、解：(1)f′(x)＝ex－1， 令 f′(x)＝ex－1＞0，ex＞1，x＞0； 令 f′(x)＝ex－1＜0，ex＜1，x＜0. 所以 f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………（5 分） (2)x＞0，f′(x)＞0，x＜0，f′(x)＜0， 所以 f(0)＝e0－0－2＝－1，为函数的极小值． 所以 f(－3)＝e－3＋3－2＝e－3＋1，f(2)＝e2－2－2＝e2－4. 比较可知，当 x∈[－3，2]时，f (x)最大值为 e2－4，最小值为－1.…………（12 分） 19、解：(1)设椭圆 C 的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意得 16m＋n＝1， 4m＋4n＝1，解得1 . ∴椭圆 C 的方程为x2 20＋y2 5 ＝1.……………………（5 分） (2)由题意可设直线 l 的方程为 y＝x＋m， 由 y2 ＝1，得 5x2＋8mx＋4m2－20＝0. 则Δ＝(8m)2－4×5(4m2－20)＝－16m2＋400＞0， ∴－5＜m＜5. ………………………………（9 分） 又点 M(4,1)到直线 l 的距离为|4－1＋m| 2 ＝， ∴m＝－1 或 m＝－5(舍去). ∴直线 l 的方程为 x－y－1＝0.……………………（12 分） 20、解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 因为在 x＝1，x＝－1 处有极值且 f(1)＝－1， 所以 f′（－1）＝0， f（1）＝－1， 所以 a＝1 2，b＝0，c＝－3 2，……………………（5 分） 所以 f′(x)＝3 2x2－3 2. 令 f′(x)＝0，得 x＝±1. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 y 极大值＝f(－1)＝1，y 极小值＝f(1)＝－1.………………（12 分） 21、解：∵OA⊥OB，且 OA 所在直线的方程为 y＝x， ∴OB 所在直线的方程为 y＝－3 3x. ……………………（3 分） 由y2＝2px， x， 得 A 点坐标p 3，……………………（6 分） 由 3 得 B 点坐标(6p，－2p).………………（9 分） |OA|＝4 3|p|，|OB|＝4|p|， S△OAB＝3 3p2＝6，所以 p＝± 3 2. 即该抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.……………………（12 分） 22、解：(1)函数 f(x)的定义域为(－2，＋∞)， 因为 f′(x)＝2 1 x＋2＝2（x＋1）（x＋3） x＋2 ， 所以当－2－1 时， f′(x)>0. 故 f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－2，－1)．…… （5 分） (2)由 f(x)＝x2＋3x＋a 得：x－a＋4－2ln(x＋2)＝0， 令 g(x)＝x－a＋4－2ln(x＋2)， 则 g′(x)＝1－ 2 x＋2＝ x x＋2. 当－10， 故 g(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增． ……………………（9 分） 要使方程 f(x)＝x2＋3x＋a 在区间[－1，1]上只有一个实数根，则必须且只需 g(0)＝0，或g（－1）<0， g（1）≥0， 或g（－1）≥0， g（1）<0. 解之得 a＝4－2ln2，或 5－2ln3

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