数学卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考数学（文）试题（解析版）

广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 选D.‎ ‎2. 设是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，故选A.‎ ‎3. 设，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】c=0时，；2>-2,但 ；所以选C.‎ ‎4. 已知单位向量，满足，则与的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以， ，选D.‎ ‎5. 命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“，”的否定是， ‎ 选D.‎ ‎6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（ ）‎ A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 ‎【答案】C ‎【解析】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，‎ 由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．‎ ‎7. 如图，程序输出的结果，则判断框中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环第二次循环 结束循环，输出，所以判断框中应填选B.‎ ‎8. 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点为，所以 渐近线方程为，即，选B.‎ ‎9. 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】可行域如图三角形ABC及其内部，所以直线过点A（3,2）时取最大值8，选D.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10. 老师计算在晚修19:00-20:00解答同学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设19:00-20:00对应时刻，甲乙的问问题的时刻为，则 两人独自去时不需要等待满足 ‎ 概率为 ，选B.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体可为四棱锥P-ADCB，所以俯视图可以是，选C.‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的 形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎12. 在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得 ‎ 由，得,所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，因此周长为，选A.‎ 点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 切线方程为 ‎ ‎14. 已知函数，则__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】 ，所以 ‎ 点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注 意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.‎ ‎15. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 所求角为 ‎ ‎16. 过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作图，当时的面积取最大值,此时 ,所以直线的斜率等于 ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设，，数列满足：且.‎ 求证：数列是等比数列；‎ 求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等比数列定义作比，代入条件化简即得比值（2）利用叠加法求数列的通项公式.左边利用分组求和进行化简.‎ 试题解析：由题知：，‎ 又，∴，‎ ‎∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.‎ 由可得，故.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎.‎ 累加得：，‎ ‎，‎ 即.‎ 而，∴. ‎ ‎18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ 求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；‎ 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②5000.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先确定下一年续保时保费高于基本保费的频数，再除以总数得频率（2）①先利用枚举法确定事件总数，再从中确定两辆车恰好有一辆事故车的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率②先确定有事故车与非事故车辆数，再根据盈利与亏损计算总收入，除以120 得平均值 试题解析：一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率为.‎ ‎①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故 车，设为，，四辆非事故车设为，从六辆车中随机挑选两辆车共有，，，‎ ‎，，，，，，，，，，总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有，，，，，，，，总共8种情况.‎ 所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为.‎ ‎②由统计数据可知，该销售量一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为元.‎ ‎19. 如图所示，三棱柱中，已知侧面，，，.‎ 求证：平面；‎ ‎ 是棱上的一点，若三棱锥的体积为，求的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得，再通过解三角形得，最后根据线面垂直判定定理得结果（2）先根据等体积法将三棱锥体积转化为，根据三棱锥体积公式得，再根据面积公式求得 试题解析：证明：因为平面，平面，所以，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 故，所以，‎ 又，∴平面.‎ ‎ 面，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴为所求.‎ ‎20. 如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.‎ 求椭圆的方程；‎ ‎ 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)存在常数符合题意.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c三者关系，再将P点坐标代入椭圆方程，解得，.（2）先根据两点斜率公式化简，以及，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简，最后作商得的值 试题解析：由在椭圆上得，①‎ 依题设知，则②‎ ‎②带入①解得，，.‎ 故椭圆的方程为.‎ 由题意可设的斜率为，‎ 则直线的方程为③‎ 代入椭圆方程并整理，得，‎ 设，，则有 ‎，④‎ 在方程③中令得，的坐标为 .‎ 从而，，. ‎ 注意到，，共线，则有，即有.‎ 所以⑤‎ ‎④代入⑤得，‎ 又，所以，故存在常数符合题意. ‎ ‎21. 已知函数.‎ 确定函数的单调性；‎ 若对于任意，，且，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)在单调递增；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据确定导函数符号，最后得单调性（2）先化简绝对值.再构造函数，转化为函数单调性，再转化为导数恒成立问题，进而转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得实数的取值范围.‎ 试题解析：函数，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴在单调递增.‎ 不妨设，则，‎ 由知：，‎ ‎∴.‎ 设，，由上知：应在上单调递减，‎ ‎∴在上恒成立在上恒成立在上恒成立在上恒成立，易知在上单调递减，其最大值为-3.‎ ‎，∴为所求.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，弦的中点为，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先消参数得的普通方程，再根据得曲线的极坐标的方程，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（2）先求直线参数方程，再代入的普通方程，利用韦达定理以及参数几何意义求的值.‎ 试题解析：由题意的方程为：可得的普通方程为：， ‎ 将代入曲线方程可得：.‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以.‎ 又，，.‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.‎ 因为点，化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得：，‎ 所以由韦达定理：，，‎ 所以.‎ ‎23. 已知函数.‎ 求不等式的解集；‎ 若函数的最小值为，整数、满足，求证.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得，利用均值不等式得，，即得结果 试题解析：当时，得.∴.‎ 当时，得.∴无解.‎ 当时，得.‎ 所以，不等式的解集为或.‎ ‎ ，∴，即.‎ 又由均值不等式有：，，‎ 两式相加得.∴‎ 当且仅当时等号成立.‎ 点睛:（1）作差法证明不等式，关键在于作差后的变形，一般利用因式分解或配方实现与零的比较，（2）应用基本不等式证明不等式，一要注意方向，二要注意次数统一，三要注意等于号取法（3）反证法证明不等式，基本应用于“正难则反”情形，关键找准矛盾点，推翻反设.‎ ‎ ‎