【数学】2019届一轮复习人教A版线性规划学案
一．学习目标
【学习目标】
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．
二．知识点总结
【知识要点】
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则
①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．
②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．
③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束
条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
线性目标函数
目标函数是关于变量的一次函数
最优解
使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值
3.常见简单的二元线性规划实际问题
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
解线性规划问题的一般步骤：
审题、设元——列出约束条件
(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．
三．解题方法总结
.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法
第一种：若用y＝ x＋b表示的直线将平面分成上下两部分
不等式
区 域
y＞ x＋b
表示直线上方的半平面区域
y＜ x＋b
表示直线下方的半平面区域
第二种：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B＝0读者完成)
不等式
B＞0
B＜0
Ax＋By＋C＞0
表示直线上方的半平面区域
表示直线下方的半平面区域
Ax＋By＋C＜0
表示直线下方的半平面区域
表示直线上方的半平面区域
联系：将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝ x＋b的形式即是第一种.
第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.
2.线性规划问题求解策略
(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：
①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；
②移：由 ＝ax＋by变形为y＝－x＋，所求 的最值可以看成是求直线y＝－x＋在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数， 随x，y的变化而变化)，将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使最大(或最小)时所经过的点；
③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；
④答：写出最后结论.
(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.
(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解.
四.命题陷阱类型分析
1.简单的线性规划
例1．若实数满足条件，则的最大值为（ ）
A. 21 B. 17 C. 14 D. 5
【答案】B
练习1．已知实数， 满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示：
当直线经过点B时， 最大，即，
故选：B
2．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
如图所示，当时，
目标函数的最大值为
故选。
【方法总结】本题主要考查的是线性规划的基本应用的问题。由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是解决线性规划问题的关键，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解
2.与斜率有关的线性规划
例2已知实数 、 满足 ，求 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由线性约束条件作出可行域如图，
练习1．设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A. 6 B. 3 C. D. 1
【答案】A
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
表示可行域内的点与原点连线的斜率．结合图形可得，可行域内的点A与原点连线的斜率最大．
由，解得，故得．
所以．选A．
练习2.实数满足，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设= ，即 x−y=0，
故选：C.
【方法总结】：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
3.已知实数满足，求的取值范围__________．
【答案】
【解析】作出可行域如图所示：
所以.
故答案为： .
【方法总结】：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3.与距离有关的线性规划
例3. 关于、的不等式组所表示的平面区域记为，不等式所表示的平面区域记为，若在内随机取一点，则该点取自的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】的面积为，半圆的面积为，故概率为.
练习1. 设点是平面区域内的任意一点，则的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作可行域如图， ,其中M（2,0），因为 的最小值为5-4=1,选B
练习2.在不等式组所表示的平面区域上，点在曲线上，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
如图,画出平面区域(阴影部分所示),
由圆心向直线作垂线,
圆心到直线的距离为,
又圆的半径为1,所以可求得的最小值是1．
故选D.
【方法总结】利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
3.若实数满足不等式组，且的最大值为 ，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知 =3x+2y+2﹣3a，经过A时， 取得最大值，
由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，
解得a=2．
故选：A．
【方法总结】：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4.对于实数，定义是不超过的最大整数，例如： ．在直角坐标平面内，若满足，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】∵
∴或者，即或
∴表示的可行域如图所示：
∵可以看作可行域内点到点距离的平方
∴由图可知，可行域内的点到到点的距离的平方最小
∴的最小值为2
故答案为2.
【方法总结】：本题考查线性规划，点与点之间的距离公式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.解答本题的关键是理解新定义，画出正确的可行域.
5．满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域：
【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目
4.可行域含参数
例4. 若实数， 满足且的最小值为4，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：
∵ =2x+y的最小值为4，即2x+y=4，
且y=﹣2x+ ，则直线y=﹣2x+ 的截距最小时， 也取得最小值，
【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
练习1设不等式组，所表示的区域面积为.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
当与交点为时面积为，此时，若则
故选
练习2. 已知不等式组表示平面区域的面积为4，点在所给的平面区域内，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】作可行域如图,可得 ,所以直线过点A(2,2)时取最大值6,选C.
3.设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】A
5.目标函数含参数
例5. 设， 满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为
当直线过点时，有最大值，将点代入得到
故答案为：A.
练习1.若不等式组所表示的平面区域被直线： 分为面积相等的两部分，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意 可画出可行域为如图△ABC及其内部所表示的区域，
联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l平分△ABC的面积，所以直线l过边BC的中点D，易得D
，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.
练习2.已知实数满足约束条件，若的最大值为4，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立 ，解得，由图得化目标函数为 当直线过或时，直线在轴上的截距最小， 有最大值．
把代入，得，符合题意；
把代入得 ．
故选C.
练习3.设， 满足线性约束条件若目标函数（）取得最大值的最优解有无数个，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知约束区域如图所示：
由得
∵
4.设变量满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数a的值为_______________.
【答案】
【解析】可行域如图所示，当，因取最大值时的最优解不唯一，故取最大值时动直线与直线重合，此时；当时，因取最大值时的最优解不唯一，故取最大值时动直线与直线重合，此时，填或.
5. 当实数x，y满足时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由约束条件作可行域如图
联立，解得，联立，解得，在中取得，由得，要使恒成立，则平面区域在直线的下方，若，则不等式等价为，此时满足条件，若，即，平面区域满足条件，若，即时，要使平面区域在直线的下方，则只要B在直线的下方即可，即，得，综上，∴实数的取值范围是，故答案为.
6.含绝对值得线性规划问题
例6. 已知实数x、y满足： ， ＝|2x－2y－1|，则 的取值范围是( )
A. [，5] B. [0,5]
C. [0,5) D. [，5)
【答案】C
【解析】画出x，y约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u＝2x－2y－1，则y＝x－，先画出直线y＝x，再平移直线y＝x，当经过点A(2，－1)，B(，)时，可知－≤u<5，∴ ＝|u|∈[0,5)，故选C．
练习1. 实数， 满足，目标函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【方法总结
】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
练习2已知实数满足，则的最小值是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，4），
=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+ ﹣4．
由图可知，当直线y=2x+ ﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小， 有最小值为4．
故选：C．
3．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．若满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 7 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），
由可行域可知， ，
∴，
∴，
设，则．
平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时 取得最大值．
由解得．故点A的坐标为（1,2）．
∴．选C．
5．若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则等价于的值与无关，
所以，即，所以圆的区域位于两平行线区域之间，
所以，
所以，故选B。
6．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不等式表示的区域为如图所示的阴影部分,三个交点坐标分别为.
目标函数,即
∴目标函数过(2,0)时,取得最大值为9,过时,取得最小值为，
∴目标函数的取值范围是，
则的取值范围是.
本题选择D选项.
7.设满足约束条件，则的最大值是__________．
【答案】2
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
由图形得，当时， ，且当直线经过点时有最大值2，故可得的最大值为2．
答案：2
7.其它的非线性规划
例7.．已知直线 过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．
【答案】
【解析】
练习1．设实数满足约束条件，则的最小值为.__________．
【答案】1
【解析】画出可行域如图所示，
取等号.
【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
练习2.)已知log (x＋y＋4)
3x＋y－2>0，可行域如图中阴影部分所示，不包括边界．而x－y≤λ恒成立等价于(x－y)max≤λ，由可行域知， ＝x－y过点A(3，－7)时取得最大值10，而点A不在可行域内，所以λ的取值范围是[10，＋∞)．
【方法总结】
：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
3．已知实数满足，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
令，则，
由图可知，当时， ，
当过时， ，
所以原式的取值范围是。
4．已知点P(x，y)的坐标满足则的取值范围为________.
【答案】
【解析】作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，
设A(1，1)，P(x，y)为可行域内的一动点，向量，的夹角为θ，
∵||＝， ·
＝x＋y，
∴cos θ＝
【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
5．已知函数．
（1）若，且，求的最大值；
（2）当时， 恒成立，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由可得，利用基本不等式即可求得
的最大值；（2）当时， 恒成立等价于，利用线性规划求解，画出可行域，要求的范围，先根据可行域以及经过两点的斜率公式求经过两点与的直线的斜率的取值范围是，从而可得结果.
试题解析：（1） ∵， ，
∴，即，∴， ， ，
∵， ，当且仅当时等号成立，
即．
（2）∵当时， 恒成立，且，
∴，且，即，
满足此不等式组的点构成图中的阴影部分，
由图可得，经过两点与的直线的斜率的取值范围是，
∴的取值范围是．
五.高考真题演练
1.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：绘制不等式组表示的可行域，
目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，
数形结合可得目标函数在点 处取得最小值 ，故选A。
【考点】 应用线性规划求最值
【名师点睛】求线性目标函数 ＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最大，在y轴截距最小时， 值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最小，在y轴上截距最小时， 值最大。
2.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A） （B）1（C） （D）3
【答案】
【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
3.【2017山东，理4】已知x,y满足，则 =x+2y的最大值是
（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6
【答案】C
【考点】 简单的线性规划
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
4.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】试题分析：因为，且，所以
，所以选B.
【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
5.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【解析】
试题分析：设等差数列的公差为 ，由a2，a3，a6成等比数列可得： ，
即： ，整理可得： ，公差不为 ，则 ，
数列的前6项和为 .
故选A.
【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算
【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d
是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
6.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.
【考点】线性规划
7.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
【考点】 简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
8.【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
9.【2017课标3，理13】若，满足约束条件，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【考点】应用线性规划求最值
【名师点睛】求线性目标函数 ＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最大，在y轴截距最小时， 值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最小，在y轴上截距最小时， 值最大.
10.【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.
【答案】
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
11.【2017课标1，理13】设x，y满足约束条件，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，
易求得，
由得在轴上的截距越大，就越小
所以，当直线直线过点时，取得最小值
所以取得最小值为
【考点】线性规划.
【2016年，2015年】
1.【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：用特殊值法,令,,得,选项A错误,,选项B错误,,选项C正确,,选项D错误,故选C．
考点：指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
2.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.
考点定位：本题考点为线性规划的基本方法
【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令，画出直线，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.
3.【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B. 6 C. D. 4
【答案】．
【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，
由得，由上图结合题意可知当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选
【考点定位】二元一次不等式的线性规划．
【名师点睛】本题主要考查学生利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决线性规划的应用，数形结合思想的应用和运算求解能力，本题关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的可行域和准确判断目标函数直线出取得最小值的可行解，属于容易题．
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】
考点：线性规划．
【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
5.【2015高考山东，理5】不等式的解集是（ ）
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
【答案】A
【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;
解（I）得： ,解（II）得： ,解（III）得： ,
所以，原不等式的解集为 .故选A.
【考点定位】含绝对值的不等式的解法.
【名师点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.
6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
【考点定位】简单的线性规划问题.
【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.
7.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】
试题分析：作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
考点：线性规划.
【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 的大小变化，得到最优解.
8.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．
【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断和的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小．
9.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
甲
乙
原料限额
（吨）
（吨）
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润
由题意可列，其表示如图阴影部分区域：
当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．
【考点定位】线性规划．
【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
是平面区域必须作正确，且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.
10. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ ）
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100
B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100
D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100
【答案】D
【解析】
试题分析：举反例排除法：
A.令，排除此选项，
B.令，排除此选项，
C.令，排除此选项，故选D．
考点：不等式的性质．
【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
11.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】
时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
【考点定位】函数与不等式的综合应用.
【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.
12. 【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.
【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．
13. 【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当
所表示直线经过点时，有最大值
【考点定位】线性规划.
【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.
14. 【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【考点定位】函数的值域，不等式的性质.
【名师点睛】这类问题一般有两种：表示不超过的最大整数；表示不小于的最大整数. 应注意区别.
15.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．
【考点定位】线性规划．
【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．
16. 【2015湖南理2】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.2
【答案】A.
【解析】
试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从
而可知当，时，的最小值是，故选A.
【考点定位】线性规划.
【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.
17.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】
试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
考点：简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
18.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
19. 【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即．
考点：简单的线性规划问题．
【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．
20.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】
试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点
考点：线性规划的应用
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.
21.【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
【考点定位】线性规划．
【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．
22.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
【考点定位】线性规划解法
【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用
的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.
23.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
考点：线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
24. 【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．
【答案】.
.
【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系
【名师点睛】本题主要考查了以线性规划为背景的运用，属于中档题根据可行域是圆及其内部的特点，结
合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再利用分类讨论的数学
思想去掉其中一个绝对值号，利用线性规划知识求解，理 试卷的线性规划问题基本考查含参的线性规划
问题或者是利用线性规划的知识解决一些非线性的目标函数或可行域的问题，常需考查目标函数或可行域
的几何意义求解，在复习时应予以关注.
25. 【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.
【答案】
26.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【考点】基本不等式求最值
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
