人教A版数学必修三2-1-2系统抽样

人教A版数学必修三2-1-2系统抽样

§2.1.2 系统抽样 一、教材分析 教材通过探究“学生对教师教学的意见”过程，介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽 样，并给出实施等距抽样的步骤． 值得注意的是在教学过程中，适当介绍当 n N 不是整数时，应如何实施系统抽样． 二、教学目标 1、知识与技能： （1）正确理解系统抽样的概念； （2）掌握系统抽样的一般步骤； （3）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系； 2、过程与方法： 通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学 方法， 3、情感态度与价值观： 通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系。 三、重点难点 教学重点：实施系统抽样的步骤． 教学难点：当 n N 不是整数，如何实施系统抽样． 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 上一节我们学习了简单随机抽样，那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机抽样是最 简单和最基本的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样．但是如果总体中 的个体较多时，怎样抽取样本呢？教师点出课题：系统抽样． 思路 2 某中学有 5 000 名学生，打算抽取 200 名学生，调查他们对奥运会的看法，采用简单随 机抽样时，无论是抽签法还是随机数法，实施过程很复杂，需要大量的人力和物力，那么有 没有更为方便可行的抽样方法呢？这就是今天我们学习的内容：系统抽样． （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的 方法 ？ （2）请归纳系统抽样的定义和步骤. （3）系统抽样有什么特点？ 讨论结果： (1)可以将这 500 名学生随机编号 1—500，分成 50 组，每组 10 人，第 1 组是 1—10，第二 组 11—20，依次分下去，然后用简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2，然后每隔 10 个号抽取一个，得到 2，12，22，…，492． 这样就得到一个容量为 50 的样本． 这种抽样方法称为系统抽样． (2)一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分， 然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法 叫做系统抽样. 其步骤是： 1°采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个体编号; 2°将整体按编号进行分段，确定分段间隔 k(k∈N,l≤k); 3°在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l（l∈N,l≤k）; 4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k)，再 加上 k 得到第 3 个个体编号(l+2k)，这样继续下去，直到获取整个样本． 说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而 把复杂问题简单化，体现了数学转化思想． (3)系统抽样的特点是： 1°当总体容量 N 较大时，采用系统抽样； 2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样 又称等距抽样，这时间隔一般为 k＝［ n N ］． 3°预先制定的规则指的是：在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的 基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号． （三）应用示例 例 1 为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩，应采用什么抽样方法较恰当？简 述抽样过程． 解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下： （1）随机地将这 1 000 名学生编号为 1，2 ，3，…，1000． （2）将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包括 20 个个体． （3）在第一部分的个体编号 1，2，3，…，20 中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如 18． （4）以 18 为起始号码，每间隔 20 抽取一个号码，这样得到一个容量为 50 的样本：18，38， 58，…，978，998． 点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽 样是等概率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均 分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样． 变式训练 1．下列抽样不是系统抽样的是（ ） A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一 件产品检验 C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人 数为止 D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为 14 的观众留下来座谈 分析：C 中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样, 所以不是系统抽样. 答案：C 2.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要 按 1∶5 的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程． 分析：按 1∶5 分段，每段 5 人，共分 59 段，每段抽取一人，关键是确定第 1 段的编号． 解：抽样过程是： （1）按照 1∶5 的比例，应该抽取的样本容量为 295÷5=59，我们把 259 名同学分成 59 组， 每组 5 人，第一组是编号为 1—5 的 5 名学生，第 2 组是编号为 6—10 的 5 名学生，依次下 去，59 组是编号为 291—295 的 5 名学生； （2）采用简单随机抽样的方法，从第一组 5 名学生中抽出一名学生，不妨设编号为 l(l≤5)； （3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为 l+5k(k=0,1,2,…，58)，得到 59 个个体 作为样本，如当 k=3 时的样本编号为 3，8，13，…，288，293． 例 2 为了了解参加某种知识竞赛的 1 003 名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本． 分析：由于 50 1003 不是整数，所以先从总体中随机剔除 3 个个体． 步骤： （1）随机地将这 1003 个个体编号为 1，2，3，…，1003． （2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除 3 个个体（可利用随机数表），剩下的个体数 1 000 能被样本容量 50 整除，然后再重新编号为 1，2，3，…，1000． （3）确定分段间隔． 50 1000 =20，则将这 1 000 名学生分成 50 组，每组 20 人，第 1 组是 1， 2，3，…，20；第 2 组是 21，22，23，…，40；依次下去，第 50 组是 981，982，…，1000． （4）在第 1 组用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤20). （5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为 l+20k (k=0,1,2,…，19)，得到 50 个个体 作为样本，如当 k=2 时的样本编号为 2，22，42，…，982． 点评：如果遇到 n N 不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体 中剩余的个体数能被样本容量整除． 变式训练 1.某校高中三年级有 1 242 名学生，为了了解他们的身体状况，准备按 1∶40 的比例抽取一 个样本，那么（ ） A.剔除指定的 4 名学生 B.剔除指定的 2 名学生 C.随机剔除 4 名学生 D.随机剔除 2 名学生 分析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于 40 1242 的余 数是 2，所以要剔除 2 名学生. 答案：D 2.从 2 005 个编号中抽取 20 个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（ ） A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案：C 例 3 从已编号为 1—50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实 验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是 （ ） A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32 分 析 ： 用 系 统 抽 样 的 方 法 抽 取 到 的 导 弹 编 号 应 该 为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d, 其 中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项 B 满足要求. 答案：B 点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来，从第 2 个号码开 始，每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔． 变式训练 某小礼堂有 25 排座位，每排 20 个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为 了了解有关情况，留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试，这里运用的是_________抽 样方法． 答案：系统 （四）知能训练 1．从学号为 0—50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学竞赛，采用系统抽样 的方法，则所选 5 名学生的学号不可能是（ ） A.1，2，3，4，5 B.5，15，25，35，45 C.2, 12, 22, 32, 42 D.9，19，29，39，49 答案：A 2．采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本，那么每个个体入 样的可能性为（ ） A. 83 1 B. 80 1 C. 10 1 D.不相等 答案：A 3．某单位的在岗工人为 624 人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间， 决定抽取 10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？ 答案：先随机剔除 4 人，再按系统抽样抽取样本． 4．某学校有学生 3 000 人，现在要抽取 100 人组成夏令营，怎样抽取样本？ 分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样． 解：按系统抽样抽取样本，其步骤是： ①将 3 000 名学生随机编号 1，2，…，3000； ②确定分段间隔 k＝ 100 3000 =30，将整体按编号进行分 100 组，第 1 组 1—30，第 2 组 31—60， 依次分下去，第 100 组 2971—3000； ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l（l∈N,0≤l≤30）； ④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号 l 加上间隔 30 得到第 2 个个体编号 l+30， 再加上 30，得到第 3 个个体编号 l+60，这样继续下去，直到获取整个样本．比如 l＝15，则 抽取的编号为：15，45，75，…，2985． 这些号码对应的学生组成样本． （五）拓展提升 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 000，001，002，…，999，打算从中抽取一个 容量为 50 的样本，按系统抽样方法分成 50 个部分，第一组编号为 000，002，…，019，如 果在第一组随机抽取的一个号码为 015，则抽取的第 40 个号码为_____________． 分析：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为 l＝015，分段间隔为 k＝ 50 1000 =20，则 在第 i 组中抽取的号码为 015+20(i－1)．则抽取的第 40 个号码为 015＋(40-1)×20=795． 答案：795 （六）课堂小结 通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获取 样本． （七）作业 习题 2.1A 组 3．