数学理卷·2017届四川省资阳市高三4月模拟考试（2017

数学理卷·2017届四川省资阳市高三4月模拟考试（2017

资阳市高中2014级高考模拟考试 数 学（理工类）‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为 ‎(A)或 ‎(B)或 ‎(C)‎ ‎(D) ‎ ‎2．已知等差数列的前项和为，且，则 ‎(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9‎ ‎3．已知i为虚数单位，若复数（其中）为纯虚数，则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎5．双曲线E：(，)的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是 ‎(A) (B) (C) 2 (D) 3‎ ‎6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 ‎(A) 40‎ ‎(B) 60‎ ‎(C) 80‎ ‎(D) 100‎ ‎7．已知MOD函数是一个求余函数，记表示m除以n的余数，例如．右图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出的值为 ‎(A) 7‎ ‎(B) 8‎ ‎(C) 9‎ ‎(D) 10‎ ‎8．已知函数，其中．若对恒成立，则的最小值为 ‎(A) 2 (B) 4 (C) 10 (D) 16‎ ‎9．已知，，下列不等式成立的是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎10．正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11．过抛物线的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为 ‎(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64‎ ‎12．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 注意事项：‎ 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．二项式的展开式中，常数项是_____．‎ ‎14．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，则P(X＞4)＝_____．‎ ‎15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．‎ ‎（结果保留一位小数，参考数据：，）‎ ‎16．已知函数（k是常数，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）在区间内存在两个极值点，则实数k的取值范围是________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.‎ ‎(Ⅰ) 求角的大小；‎ ‎(Ⅱ) 若，求a的取值范围．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”‎ 的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100] 分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎(Ⅰ) 求图中的值；‎ ‎(Ⅱ) 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2:1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21:12‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，侧面为正方形，且平面ABC，为线段上的一点．‎ ‎(Ⅰ) 若∥平面A1CD，确定D的位置，并说明理由；‎ ‎(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下，求二面角的余弦值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆W：的离心率为，直线l：y＝2上的点和椭圆W上的点的距离的最小值为1．‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆W的方程；‎ ‎(Ⅱ) 已知椭圆W的上顶点为A，点B，C是W上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为，．‎ ‎① 求证：为定值；‎ ‎② 求△CEF的面积的最小值. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎(Ⅰ) 当a＝－1时，求证：；‎ ‎(Ⅱ) 对任意，存在，使成立，求a的取值范围.（其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…）‎ 请考生在22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。‎ 22． ‎(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎(Ⅰ) 求曲线与交点的平面直角坐标；‎ ‎(Ⅱ) 点分别在曲线，上，当最大时，求的面积(为坐标原点)．‎ ‎23．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 解不等式；‎ ‎(Ⅱ) 若，，求证：．‎ 资阳市高中2014级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见（理工类）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。‎ ‎13. 28；14. 0.2；15.2.6；16. ．‎ 三、解答题：本大题共70分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）由已知得， 2分 化简得，‎ 整理得，即， 4分 由于，则，‎ 所以． 6分 ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得 ‎ 8分 ‎． 10分 又由，知，可得，‎ 所以的取值范围是． 12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）由，解得． 4分 ‎（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有人，‎ 其中男生6人，女生3人． 5分 则X的值可以为0，1，2，3．‎ ‎，，‎ ‎，． 9分 则X分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 10分 所以X的期望． 12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）D为的中点，理由如下：‎ 连接AC1，交A1C于点E，可知E为AC1的中点，连接DE，‎ 因为∥平面A1CD，‎ 平面ABC1∩平面A1CD＝DE，‎ 所以∥DE，‎ 故为的中点． 4分 ‎（Ⅱ）不妨设＝2，分别取BC，B1C1的中点O，O1，连接AO，OO1，可知OB，OO1， OA两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz．‎ 知，‎ 则，，‎ 设面A1CD的法向量，‎ 由得 令，得A1CD的一个法向量为，‎ 又平面BCC1的一个法向量，‎ 设二面角的平面角为α，‎ 则．‎ 即该二面角的余弦值为． 12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）由题知，由，‎ 所以．‎ 故椭圆的方程为． 3分 ‎（Ⅱ）① 证法一：设，则，‎ 因为点B，C关于原点对称，则，‎ 所以． 6分 证法二：直线AC的方程为， ‎ 由得，‎ 解得，同理，‎ 因为B，O，C三点共线，则由，‎ 整理得，‎ 所以． 6分 ‎②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，‎ 令y＝2，得，‎ 而，‎ 所以，△CEF的面积 ‎． 8分 由得，‎ 则，当且仅当取得等号，‎ 所以△CEF的面积的最小值为． 12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）当 a＝－1时，（x＞－1），‎ 则，令，得．‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减．‎ 故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，‎ 所以，，得证． 4分 ‎（Ⅱ）不等式，‎ 即为．‎ 而 ‎．‎ 令．故对任意，存在，使恒成立，‎ 所以． 6分 设，则，‎ 设，知对于恒成立，‎ 则为上的增函数，于是，‎ 即对于恒成立，所以为上的增函数．‎ 所以． 8分 设，即，‎ 当a≥0时，为上的减函数，且其值域为R，可知符合题意．‎ 当a＜0时，，由可得，‎ 由得，则p(x)在上为增函数；由得，则p(x)在上为减函数，所以．‎ 从而由，解得．‎ 综上所述，a的取值范围是. 12分 22． ‎(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 ‎(Ⅰ)由得 ‎ 则曲线的普通方程为.‎ 又由，得，得. ‎ 把两式作差得，，代入， ‎ 可得交点坐标为为. 5分 ‎(Ⅱ) 由平面几何知识可知，‎ 当依次排列且共线时，最大，此时，‎ 直线的方程为，则到的距离为，‎ 所以的面积为. 10分 ‎23．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）原不等式即为．‎ 当时，则，解得；‎ 当时，则，此时不成立；‎ 当时，则，解得．‎ 所以原不等式的解集为或． 5分 ‎（Ⅱ）要证，即，只需证明．‎ 则有 ‎．‎ 因为，，则，‎ 所以，原不等式得证． 10分