高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-3第2课时

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高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-3第2课时

第2课时 等差数列前n项和的应用 双基达标 (限时20分钟) ‎1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4等于 (  ).‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ 解析 Sn是等差数列{an}的前n项和,则S7=7a4=35,‎ ‎∴a4=5.‎ 答案 D ‎2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于 (  ).‎ A.1 B.-1 C.2 D. 解析 ====·=1.‎ 答案 A ‎3.已知某等差数列共20项,其所有项和为75,偶数项和为25,则公差为 (  ).‎ A.5 B.-5 C.-2.5 D.2.5‎ 解析 由题意知S奇+S偶=75,又S偶=25,‎ ‎∴S奇=50,由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶-S奇=10d,即25-50=10d,∴d=-2.5.‎ 答案 C ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=________.‎ 解析 ∵{an}是等差数列,由S9=72,得S9=9a5,a5=8,‎ ‎∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24.‎ 答案 24‎ ‎5.在等差数列{an}中,已知前三项和为15,最后三项和为78,所有项和为155,则项数n=________.‎ 解析 由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)‎ ‎+(a3+an-2)=93,‎ 即a1+an=31.‎ 由Sn===155,得n=10.‎ 答案 10‎ ‎6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.‎ ‎(1)求公差d的范围;‎ ‎(2)问前几项的和最大,并说明理由.‎ 解 (1)∵a3=12,∴a1=12-2d,‎ ‎∵S12>0,S13<0,‎ ‎∴即 ‎∴-0,S13<0,‎ ‎∴∴.‎ ‎∴a6>0,‎ 又由(1)知d<0.‎ ‎∴数列前6项为正,从第7项起为负.‎ ‎∴数列前6项和最大.‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 由等差数列的求和公式可得==,可得a1=2d且d≠0,所以===,故选A.‎ 答案 A ‎8.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 (  ).‎ A.11或12 B.12‎ C.13 D.12或13‎ 解析 ∵an=26-2n,∴an-an-1=-2,‎ ‎∴数列{an}为等差数列.又a1=24,d=-2,∴Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-2+.‎ ‎∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn最大,故选D.‎ 答案 D ‎9.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________.‎ 解析 法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.‎ ‎∴30,70,S3m-100成等差数列.‎ ‎∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.‎ 法二 在等差数列中,,,成等差数列,‎ ‎∴=+.‎ 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.‎ 答案 210‎ ‎10.在等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,a5=3a7,前n项和为Sn,若Sn取得最大值,则n=________.‎ 解析 在等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,‎ ‎∵a5=3a7,∴a1+4d=3(a1+6d),‎ ‎∴a1=-7d,∴Sn=n(-7d)+d=(n2-15n),‎ ‎∴n=7或8时,Sn取得最大值.‎ 答案 7或8‎ ‎11.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.‎ 解 设等差数列{an}的公差为d,‎ 则Sn=na1+n(n-1)d,‎ ‎∵S7=7,S15=75,∴ 即解得 ‎∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),‎ ‎∵-=,‎ ‎∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,‎ ‎∴Tn=n×(-2)+×=n2-n.‎ ‎12.(创新拓展)若有穷数列a1,a2,…,an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.‎ ‎(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项;‎ ‎(2)已知{cn}是项数为2k-1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1,…,c2k-1构成首项为50,公差为-4的等差数列,数列{cn}的前2k-1项和为S2k-1,则当k为何值时,S2k-1取到最大值?最大值为多少?‎ 解 (1)设{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,‎ 解得d=3,‎ ‎∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.‎ ‎(2)S2k-1=c1+c2+…+ck-1+ck+ck+1+…+c2k-1‎ ‎=2(ck+ck+1+…+c2k-1)-ck ‎=2(-2k2+52k)-50‎ ‎=-4(k2-26k)-50‎ ‎=-4(k-13)2+4×132-50,‎ ‎∴当k=13时,S2k-1取得最大值.S2k-1的最大值为626.‎
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