内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

内蒙古包头市第六中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

‎2018-2019包头市第六中学年第一学期期中考试高一数学 一､填空题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性化简集合，利用列举法表示集合，结合交集定义求解即可.‎ ‎【详解】集合，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】集合的基本运算的关注点：‎ ‎（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；‎ ‎（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；‎ ‎（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．‎ ‎2.下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对给出的四个选项分别进行分析、判断即可．‎ ‎【详解】选项A中，函数y=|x|为偶函数，且在区间（0,1）上为增函数，故A正确．‎ 选项B中，函数y=3﹣x为非奇非偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故B不正确．‎ 选项C中，函数y=为奇函数，且在区间（0,1）上为增函数，故C不正确．‎ 选项D中，函数y=﹣x2+4为偶函数，且在区间（0,1）上为减函数，故D不正确．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，解题的关键是熟记一些常见函数的性质，属于简单题．‎ ‎3.函数的定义域是 A. B. C. D. [0，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题考察函数的定义域，既要考虑到对数函数的真数大于等于0，也要考虑到分母不能为0．‎ ‎【详解】由题意可知解得，故选B．‎ ‎【点睛】在计算复合函数的定义域的时候，一定要考虑到组合成复合函数的每一个基本初等函数的性质．‎ ‎4.已知幂函数的图象经过点，则幂函数具有的性质是（ ）‎ A. 在其定义域上为增函数 B. 在其定义域上为减函数 C. 奇函数 D. 定义域为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，将代入解析式即可的结果.‎ ‎【详解】设幂函数，幂函数图象过点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由的性质知，是非奇非偶函数，值域为，在定义域内无最大值，在定义域内单调递增.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的解析式以及幂函数的单调性、奇偶性与定义域，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎5.函数的图象关于（ ）‎ A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 是奇函数，所以图象关于原点对称．‎ ‎6.若函数，则（ ）‎ A. B. e C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即，故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.‎ ‎7.若xlog34=1，则4x+4–x=‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可．‎ ‎【详解】∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3，∴4x+4–x=3+．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查对数性质的简单应用，属于基础题目．‎ ‎8.函数的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：‎ ‎，‎ 利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，；‎ 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；‎ 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.‎ ‎9.已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 A. t≤–1 B. t<–1‎ C. t≤–3 D. t≥–3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质，可得函数恒过点坐标为，且函数是增函数，图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知函数是定义在上偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用函数的单调性即可判断.‎ 详解：因为函数为偶函数且在(−∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.‎ 故选B.‎ 点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“‎0”‎，“‎1”‎或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．‎ ‎11.函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 A. [0，4] B. [4，6] C. [2，6] D. [2，4]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为函数的图象开口朝上，由 ，‎ 结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.‎ ‎【详解】函数的图象是开口朝上，‎ 且以直线为对称轴的抛物线，‎ 故，‎ 函数的定义域为,值域为，‎ 所以，‎ 即的取值范围是,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.‎ ‎12.函数 y=（）的单调递增区间为(　　)‎ A. (1，＋∞) B. （﹣∞，]‎ C. （，+∞） D. [，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论．‎ ‎【详解】令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增，即该函数的单调递增区间为..‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ 二､填空题 ‎13.若是函数的反函数，且，则＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是函数的反函数，可得解 ‎【详解】，则点 在的函数图像上，‎ 又互为反函数的图像 关于直线 对称，‎ 所以关于直线的对称点在函数上，所以 ，‎ 所以=‎ ‎【点睛】利用互为反函数的图形关于直线对称性解决问题．‎ ‎14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.‎ ‎15.当a＞0且a≠1时，函数必过定点____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数恒过(0,1)点,即可得出答案.‎ ‎【详解】由指数函数的图像恒过(0,1)点,可得当时,=1,所以,即函数必过定点(2,-2).‎ 故答案为: (2,-2).‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的性质,‎ 借助于指数函数的图像的性质求解函数图像过定点的问题,掌握指数函数图像恒过(0,1)点是解题的关键,属于基础题.‎ ‎16.若,则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数式，结合对数运算，求得值.‎ ‎【详解】,,.‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.‎ 三､解答题 ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）分别求A∩B，A∪B；‎ ‎（2）已知集合，若C⊆A，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) A∩B=[1，2），A∪B=（0，3](2) a≤3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数函数与对数函数的单调性分别化简A，B，再利用集合的运算性质即可得出；‎ ‎（2）由C⊆A，对集合C分类讨论：当C为空集时，当C为非空集合时，即可得出．‎ ‎【详解】（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．‎ 由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．‎ ‎∴A∩B=[1，2）．‎ A∪B=（0，3]．‎ ‎（2）由C⊆A，‎ 当C为空集时，a≤1．‎ 当C为非空集合时，可得 1＜a≤3．‎ 综上所述：a的取值范围是a≤3．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、集合的运算性质、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解 （2）利用指数性质、运算法则直接求解．．‎ ‎【详解】（1）原式=.‎ ‎（2）原式= =-5 .‎ ‎【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数的性质、运算法则的合理运用．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求函数的定义域;‎ ‎（2）求函数的零点;‎ ‎（3）若函数的最小值为,求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由，即，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3‎ ‎）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值，得利用对数的定义求出的值．‎ ‎【详解】（1）由已知得, 解得所以函数的定义域为 ‎（2）,令,得,即,解得,∵,∴函数的零点是 ‎（3）由2知,,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．‎ ‎20.已知函数,其中.‎ ‎(1)判断并证明函数的奇偶性;‎ ‎(2)判断并证明在上的单调性.‎ ‎【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)减函数,证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明证得是奇函数.‎ ‎（2）根据复合函数单调性同增异减，判断并证得的单调性.‎ ‎【详解】(1),.‎ 是奇函数.‎ ‎(2)设.‎ 下证明在区间上为增函数：任取，则，所以在区间上为减函数.由于在上为增函数. 根据复合函数单调性同增异减可知在上为减函数.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查复合函数单调性，属于基础题.‎ ‎21.已知函数,求该函数的最小值.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法令，结合二次函数的性质，求得函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设,开口向上，且对称轴.‎ 时，函数取得最小值.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次型复合函数最值的求法，属于基础题.‎ ‎22.设函数的定义域为．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值与最小值，并求出最值时对应的的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），最小值，，最大值 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据定义域为，利用对数函数的单调性确定函数的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数利用换元法将函数转化为关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值.‎ 试题解析：（1）的取值范围为区间 ‎（2）记．‎ ‎∵在区间是减函数，在区间是增函数 ‎∴当即时，有最小值；‎ 当即时，有最大值．‎