2013届人教A版文科数学课时试题及解析（63）直接证明与间接证明

2013届人教A版文科数学课时试题及解析（63）直接证明与间接证明

课时作业(六十三)　[第63讲　直接证明与间接证明]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)‎ A．三个内角都不大于60°‎ B．三个内角都大于60°‎ C．三个内角至多有一个大于60°‎ D．三个内角至多有两个大于60°‎ ‎2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 ‎3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)‎ A．2ab－1－a2b2≤0‎ B．a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0‎ D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ ‎4．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．‎ ‎5． 一个质点从A出发依次沿图K63－1中线段到达B、C、D、E、F、G、H、I、J各点，最后又回到A，其中：AB⊥BC，AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝(　　)‎ 图K63－1‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎6． 已知＝ad－bc，则＋＋…＋＝(　　)‎ A．－2008 B．2008‎ C．2010 D．－2010‎ ‎7．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是(　　)‎ A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b大小关系不定 ‎8．使不等式<成立的条件是(　　)‎ A．a>b B．ab，且ab<0 D．a>b，且ab>0‎ ‎9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a>b与a0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．‎ ‎13．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．‎ ‎14．(10分)若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ ‎15．(13分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.‎ ‎16．(12分)已知函数f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，对于任意不等的两个正数x1，x2，证明：当a≤0时，>f.‎ 课时作业(六十三)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B.‎ ‎2．C　[解析] 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C.‎ ‎3．D　[解析] 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.故选D.‎ ‎4．x0，∴<0.∴x20，y>0，∴x0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，‎ ‎∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，‎ 因此a，b，c中至少有一个大于0.‎ ‎15．[解答] 证明：假设三式同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>.①‎ 又(1－a)a≤2＝当且仅当a＝时取“＝”号，‎ 同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.‎ 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤，‎ 与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] 证明：由f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，得 ＝(x＋x)＋＋(lnx1＋lnx2)＝(x＋x)＋＋aln，‎ f＝2＋＋aln.‎ 而(x＋x)＝(x＋x＋x＋x)>(x＋x＋2x1x2)＝2.①‎ ‎∵(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2，‎ ‎∴>.②‎ ‎∵<，∴ln2＋＋aln，‎ 即>f.‎ ‎ ‎