2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，且，则集合可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由知，故选 ‎【考点】集合的交集．‎ ‎2．函数的零点所在的一个区间是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.‎ ‎【详解】‎ 因为为增函数,且,‎ 根据零点存在性定理知的零点在区间内.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.‎ ‎3．已知定义在上的奇函数的图象与轴交点的横坐标分别为、、、、，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，利用奇函数关于原点对称，得出函数与轴的交点也关于原点对称，得出，再将代入不等式解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是定义在上的奇函数，则，‎ 设，则函数与轴的交点关于原点对称，‎ 则，所以，‎ 不等式，即为，解得，‎ 因此，不等式的解集为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎4．函数的图象为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题中函数知，当x＝0时，y＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．‎ ‎【详解】‎ 观察四个图的不同发现，A、C、D图中的图象过原点，‎ 而当x＝0时，y＝0，故排除B；又由定义域可知x<1,排除D．‎ 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.‎ ‎5．已知幂函数在上单调递减，若 ‎，，，则下列不等关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数为幂函数，并结合已知条件求出实数的值，再利用指数函数的单调性得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于函数为幂函数，且在上单调递减，‎ 则，解得，‎ ‎，，，‎ 由于指数函数在上为增函数，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法：‎ ‎（1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较；‎ ‎（2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较；‎ ‎（3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.‎ ‎6．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可.‎ ‎【详解】‎ 对A,因为,故为奇函数,不满足 对B, 定义域为,不满足偶函数 对C, 为偶函数,且在区间上单调递增,满足题意 对D, 为偶函数,但在区间上单调递减,不满足题意.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.‎ ‎7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ A．1033 B．1053‎ C．1073 D．1093‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.‎ ‎8．已知，设，且，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的图像分析可得的关系,再代入关系求解 的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,根据图像可知.‎ 故,即.‎ 故,又在内单调递减,故 故的取值范围是 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.‎ ‎9．已知函数，，则以下结论正确的是（ ）‎ A．任意的，且，都有 B．任意的，且，都有 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，无最大值 ‎【答案】D ‎【解析】A：根据函数解析式直接判断的单调性，可判断对错；‎ B：利用奇偶性判断的单调性，即可判断对错；‎ C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；‎ D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.‎ ‎【详解】‎ A：在上均是增函数，所以是上增函数，故错误；‎ B：因为，所以是偶函数，所以在上不可能是减函数，故错误；‎ C：因为，所以是奇函数，又在上是增函数，所以无最值，故错误；‎ D：任意的，且，所以，‎ 因为，，所以，所以，所以在上单调递增，‎ 因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，无最大值，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等.‎ ‎10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴若：，，∴，‎ 若：，，∴，‎ 若：，，∴，‎ 综上可知，同理可知，故选A.‎ ‎【考点】1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.‎ ‎【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.‎ 二、填空题 ‎11．计算：________；________．‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】根据指数对数与根式的运算化简即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：(1) , (2) 2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型.‎ ‎12．函数的定义域为________，值域为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)利用分母不为0进行计算.‎ ‎(2)先求出指数的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由分母不为0有,即 ‎(2)因为为往右平移2个单位所得,故 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.‎ ‎13．若，，则函数的图象恒过定点________；当时，函数的单调递减区间是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)令中真数求解即可.‎ ‎(2)利用同增异减的关系, 的单调递减区间与的单调递减区间相同即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令又,又,故图象恒过定点 ‎(2) 当时为增函数,故的单调递减区间与的单调递减区间相同,为 故答案为：(1) (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.‎ ‎14．已知函数，有三个零点、、，则实数a的取值范围是________；的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)令,则,设函数画出图像再分析与 的交点个数即可.‎ ‎(2)根据图像分析得,再分析的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令,则,设函数,‎ 画出函数的图像.易得当为抛物线上顶点为 ‎ 又有三个零点、、,即与有三个交点,故 ‎(2)有图像得,即,当时, ‎ 即,此时,故 故 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.‎ ‎15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】写出函数的解析式，判断出函数在上单调递减，由，结合，可得出在区间上恒成立，于是得出，从而解出实数的取值范围，得出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是定义在上的奇函数，当时，，‎ ‎，易知函数在上单调递减，‎ 又，由，得，‎ 即在上恒成立，则，‎ 化简得，解得，因此，实数的最大值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为，利用函数的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.‎ ‎16．对于定义在R上的函数，如果存在实数a，使得对任意实数恒成立，则称为关于a的“函数”．已知定义在R上的函数是关于0和1的“函数”，且当时，的取值范围为，则当时，的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意列出和再代换求出函数的周期,再将自变量转换到内分析即可.‎ ‎【详解】‎ 当时, ,所以.‎ 当时, ,故,故函数是以2为周期的周期函数.‎ 又当时, ,所以.‎ 又,所以.‎ 所以当时, ,结合周期性知, 当时 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.‎ ‎17．已知满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】观察可构造函数,分析其性质得出的关系再进行不等式恒成立的运用即可.‎ ‎【详解】‎ 设,则为往右平移两个单位得来.‎ 又为单调递增的奇函数,且关于对称.‎ 故为单调递增的函数且关于对称.‎ 又可知关于对称.故 ,‎ 即.又对任意的,恒成立.‎ 即恒成立.故判别式,得.故的最小值为4.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数进行分析是关键,属于难题.‎ 三、解答题 ‎18．设全集,集合，,‎ ‎（1）若，求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,，(2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）代入，得到集合，即可求解集合和；‎ ‎（2）由，则，分类，和讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，此时，‎ 所以，‎ 又或，所以.‎ ‎（2）由，则，‎ 当时，，此时不满足题意，舍去；‎ 当时，，此时不满足题意，舍去；‎ 当时，，则满足，‎ 解得，即，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎19．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图甲，B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图乙注：利润与投资单位为万元    ‎ ‎ ‎ 分别将A，B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式；‎ 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？‎ ‎【答案】（1），，‎ ‎（2）当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元。‎ ‎【解析】（1）根据题意可设代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式;‎ ‎（2）设设A产品投入x万元，则B产品投入万元，企业获利利用换元法结合二次函数的性质即可求出.‎ ‎【详解】‎ 解：投资为x万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，‎ 由题设，由图知，，又，，‎ 从而，，‎ 设A产品投入x万元，则B产品投入万元，设企业的利润为y万元 ‎，令，‎ ‎，‎ 当，此时，‎ 当A产品投入万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润约为万元。‎ ‎【点睛】‎ 解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎20．设，‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）判断的单调性，并根据函数单调性的定义证明；‎ ‎（3）解关于的不等式；‎ ‎【答案】（1）（2）减函数（3）‎ ‎【解析】 试题分析：（1）根据解析式有意义，列出条件关系式，即可求解函数的定义；‎ ‎（2）利用单调性的定义和对数的运算，即可证明函数为单调递减函数；‎ ‎（3）由，转化为，利用函数的单调性，列出不等式组，即可求解不等式的解集.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为函数，所以且，解得，所以函数的定义域为；‎ ‎（2）任取，且，‎ 则，‎ 因为，且，所以，‎ 所以，‎ 所以，即，所以函数为单调递减函数.‎ ‎（3）因为函数，‎ 令，则，‎ 则不等式，即，‎ 所以，解得或.‎ 点睛：本题主要考查了函数的表示和函数的基本性质的判定及应用，其中解答中涉及到函数的定义域的求解，函数的单调性的判定和不等关系的求解等知识点的综合应用，解答中数列函数的单调性的定义和合理应用的单调性求解是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎21．设函数，．‎ ‎（1）若函数有零点，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）若存在不相等的实数a，b同时满足方程和，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）奇函数，理由见解析 ‎（3）．‎ ‎【解析】(1)换元利用分析函数的零点问题即可.‎ ‎(2)先判断定义域关于原点对称,再计算即可证明为奇函数.‎ ‎(3)由(2)知为奇函数且,故可推导出,再根据代入换元求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)令,则函数,又函数有零点 令则因为,故,故 ‎(2) 为奇函数.‎ 由定义域恒成立.且 ‎.即 故为奇函数.‎ ‎(3)因为为奇函数,且在上为减函数,故为在上单调递减的奇函数.‎ 又,故 又则,即 所以.令,则,又当时不满足,故 又在上单调递增.故 即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.‎ ‎22．设函数．‎ ‎（1）若函数在上不单调，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求函数在的最小值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】(1)分与两种情况将写成分段函数的形式,再根据对称轴与区间的位置关系讨论即可 ‎(2)先分 ,两种情况讨论,再根据两个二次函数的对称轴再对进行讨论分析最小值的取值情况.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由化为 则二次函数对称轴为.‎ 对称轴为 ‎ 则当时, 若函数在上不单调则对称轴在之间,‎ 即,因为故化简得,即 当时, 满足题意.‎ 当时, 若函数在上不单调则对称轴在之间,‎ 即,因为故 综上所述, ‎ ‎(2) 由(1) , ‎ 对称轴为.‎ 对称轴为 ‎ ‎1.当时,‎ 当,即时,在上单调递增, 此时 当即时, 在的对称轴处取得最小值,‎ 此时 ‎2.当时,‎ 当,即时,在上单调递增,‎ 此时 当,即时, 在的对称轴处取得最小值,‎ 此时 综上所述,‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含参的绝对值函数的求解方法,主要是先根据自变量与参数的大小关系写成分段函数的形式,再根据每个分段函数的性质进行最值的分析求解.同时也要注意分类讨论的思想,属于难题.‎